Chapitre 8 : Variations et extremums
cours et exercices corrigés

Le chapitre "Variations et Extremums" du programme de mathématiques de seconde générale et technologique traite des concepts fondamentaux liés aux fonctions, en mettant l'accent sur les variations de ces fonctions et la recherche de leurs extrema (minimum et maximum).

1. Sens de variation d'une     fonction : Le sens de variation d'une fonction décrit comment l'image     (valeur de la fonction) évolue lorsque l'argument (la variable     indépendante) change. On distingue deux cas principaux :

• Une fonction est dite     croissante si, lorsque l'argument augmente, l'image de la fonction     augmente également. En d'autres termes, la pente de la courbe est     positive.
• Une fonction est dite     décroissante si, lorsque l'argument augmente, l'image de la fonction     diminue. La pente de la courbe est alors négative.

2. Tableau de variation d'une     fonction : Un tableau de variation est un outil utilisé pour résumer les     informations sur le sens de variation d'une fonction. Il indique les     intervalles où la fonction est croissante, décroissante ou constante. Pour     cela, on détermine les valeurs particulières de l'argument pour lesquelles     la dérivée de la fonction est positive (croissance), nulle (plate) ou     négative (décroissance).
3. Minimum et maximum d'une     fonction : Le minimum d'une fonction est la plus petite valeur que     celle-ci peut prendre sur un certain domaine. Le maximum, quant à lui, est     la plus grande valeur atteignable. Ces valeurs spéciales sont également     appelées extrema. Un minimum est atteint lorsque la fonction passe d'un     sens de variation négatif à un sens de variation positif, tandis qu'un     maximum est atteint dans le cas inverse.
4. Sens de variation des fonctions     de référence :

• La fonction carrée (f(x) = x²)     est croissante sur les valeurs positives de x et décroissante sur les     valeurs négatives.
• La fonction inverse (f(x) =     1/x) est décroissante sur les valeurs positives et négatives de x, à     l'exception du point x = 0 où elle est indéfinie.
• La fonction cube (f(x) = x³)     est croissante pour toutes les valeurs de x, car son exposant est impaire.
• La fonction racine carrée (f(x)     = √x) est croissante pour les valeurs positives de x, mais n'est pas     définie pour les valeurs négatives, sauf si x = 0.

En étudiant les sens de variation et les extrema des fonctions de référence, les élèves peuvent mieux comprendre comment les fonctions évoluent et comment identifier les points importants de leur graphe. Ces concepts sont essentiels pour l'étude plus avancée des fonctions et de l'analyse mathématique.

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