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Le chapitre « Géométrie plane dans un repère » du programme de mathématiques de seconde générale et technologique aborde les concepts fondamentaux liés aux coordonnées dans un repère orthonormé, la distance entre deux points, ainsi que la notion de déterminant de deux vecteurs.
Dans un repère orthonormé, chaque point du plan est associé à une paire de nombres (x, y) appelés coordonnées. Pour déterminer les coordonnées d'un vecteur AB, on soustrait les coordonnées du point A aux coordonnées du point B, ce qui nous donne les coordonnées du vecteur. De même, pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment, on fait la moyenne des coordonnées des extrémités du segment.
La notion de distance entre deux points dans un repère orthonormé est basée sur la norme d'un vecteur. La norme d'un vecteur AB est la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées (d = √((x₂ - x₁)² + (y₂- y₁)²)). Cette formule permet de calculer la distance entre deux points A et B dans le plan.
Le déterminant de deux vecteurs est un concept clé en géométrie plane. Pour deux vecteurs donnés u(x₁, y₁) et v(x₂, y₂), leur déterminant est défini comme Δ = x₁ * y₂ - x₂ * y₁. Ce déterminant est important car il permet de déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire qu'ils sont sur la même droite. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul (Δ = 0).
En utilisant le déterminant, on peut également établir des propriétés importantes concernant les droites dans le plan. Deux droites sont parallèles si et seulement si le déterminant de leurs vecteurs directeursest nul (Δ = 0). Les vecteurs directeurs de deux droites parallèles sont desvecteurs qui ont même direction mais pas nécessairement la même norme.
Enfin, la colinéarité de trois points A, B et C peutégalement être déterminée à l'aide du déterminant. Les points A, B et C sontalignés si et seulement si le déterminant entre les vecteurs AB et AC est nul(Δ = 0).
En conclusion, le chapitre « Géométrie plane dans un repère » du programme de mathématiques de seconde générale et technologique met en évidence les notions fondamentales de coordonnées dans un repère orthonormé, de distance entre deux points et de déterminant de deux vecteurs. Ces concepts sont essentiels pour la compréhension de la géométrie plane et de ses propriétés dans un repère cartésien.
