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Le cosinus est un outil essentiel en trigonométrie. Dans ce cours, tu vas comprendre sa définition, ses propriétés et ses transformations, avec des exemples simples et des exercices corrigés pour progresser.
Le cosinus peut se comprendre de deux manières : grâce au cercle trigonométrique (pour tous les nombres réels) et grâce au triangle rectangle (pour les angles aigus). Ces deux approches sont complémentaires et te permettent de bien maîtriser la notion.
On place un cercle de rayon 1 centré sur l'origine du repère. Pour un angle $x$ (mesuré en radians), on repère le point $M$ situé sur le cercle. Le cosinus de $x$ correspond alors à l'abscisse (la coordonnée horizontale) de ce point $M$.
Autrement dit, $\cos(x)$ est la projection du point $M$ sur l'axe horizontal. Comme le rayon vaut 1, le cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ :
$$
-1 \leq \cos(x) \leq 1
$$
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Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu se calcule avec une formule très pratique. Il s'agit du rapport entre le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse :
$$
\cos(x) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}
$$
Le côté adjacent est celui qui « touche » l'angle (sans être l'hypoténuse), et l'hypoténuse est le plus long côté, opposé à l'angle droit.
AB est l’hypoténuse, et AO est le côté adjacent de l’angle x.
La fonction cosinus possède plusieurs propriétés importantes qui reviennent souvent dans les exercices. En voici les principales.
La fonction cosinus est paire : cela signifie que pour tout réel $x$, on a $\cos(-x) = \cos(x)$. Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Elle est aussi périodique de période $2\pi$. Concrètement, la courbe se répète à l'identique tous les $2\pi$ :
$$
\cos(x + 2\pi) = \cos(x)
$$
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Certaines valeurs du cosinus sont à connaître par cœur car elles reviennent tout le temps. Voici un tableau récapitulatif.
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La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est l'opposée du sinus :
$$
\cos'(x) = -\sin(x)
$$
À l'inverse, une primitive du cosinus est la fonction sinus, car la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$. Ces résultats sont très utiles pour étudier les variations de la fonction.
On peut modifier la courbe du cosinus grâce à quatre paramètres. La forme générale s'écrit :
$$
y = a \cdot \cos(bx + c) + d
$$
Chaque lettre joue un rôle précis : $a$ règle l'amplitude, $b$ la période, $c$ le décalage horizontal et $d$ la position verticale.
Le paramètre $a$ contrôle la hauteur des oscillations, appelée amplitude. Plus $a$ est grand, plus la courbe monte haut et descend bas. Par exemple, avec $a = 2$, les valeurs varient entre $-2$ et $2$, contre $-1$ et $1$ pour le cosinus de base.
Le paramètre $b$ modifie la période, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la courbe se répète. La période se calcule ainsi :
$$
T = \frac{2\pi}{b}
$$
Si $b$ augmente, les oscillations se resserrent ; si $b$ diminue, elles s'étirent.
Le paramètre $c$ décale la courbe vers la gauche ou la droite : c'est le déphasage. Par exemple, $\cos(x - \frac{\pi}{2})$ est simplement la courbe du cosinus glissée vers la droite de $\frac{\pi}{2}$.
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Le paramètre $d$ déplace toute la courbe vers le haut ou vers le bas. C'est ce qu'on appelle l'axe d'oscillation : la courbe oscille désormais autour de la droite d'équation $y = d$ au lieu de $y = 0$.
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Le cosinus sert surtout à résoudre des problèmes dans les triangles rectangles. Voici deux exemples classiques corrigés.
Énoncé : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et l'angle $\alpha = 60°$. Quelle est la longueur du côté adjacent ?
Correction : On utilise la formule $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Donc :
$$
\text{adjacent} = \cos(60°) \times 10 = 0{,}5 \times 10 = 5 \text{ cm}
$$
Le côté adjacent mesure donc 5 cm.
Énoncé : Dans un triangle rectangle, le côté adjacent mesure 4 cm et l'hypoténuse 8 cm. Quel est l'angle $\alpha$ ?
Correction : On calcule d'abord le cosinus :
$$
\cos(\alpha) = \frac{4}{8} = 0{,}5
$$
On cherche ensuite l'angle avec la touche $\cos^{-1}$ (arccos) de la calculatrice :
$$
\alpha = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°
$$
L'angle mesure donc 60°.
Chez Corrigeo, nous t'accompagnons pas à pas avec des exercices corrigés en vidéo. Chaque correction est expliquée avec pédagogie, comme si un professeur était à côté de toi : on détaille chaque étape, on explique les erreurs à éviter et on te donne des astuces pour aller plus vite. C'est le meilleur moyen de vraiment comprendre et de gagner en confiance avant un contrôle.
Voici l'essentiel à retenir sur la fonction cosinus, résumé dans un tableau clair.
Le cosinus et le sinus sont deux fonctions liées au cercle trigonométrique. Pour un point M du cercle, le cosinus correspond à son abscisse (coordonnée horizontale) tandis que le sinus correspond à son ordonnée (coordonnée verticale). Dans un triangle rectangle, le cosinus utilise le côté adjacent, alors que le sinus utilise le côté opposé. Enfin, le cosinus est une fonction paire et le sinus une fonction impaire. Les deux sont décalées de $\frac{\pi}{2}$ : $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
Une astuce simple consiste à retenir que le cosinus part de 1 en 0, descend à 0 en $\frac{\pi}{2}$, atteint $-1$ en $\pi$, puis remonte à 1 en $2\pi$. Tu peux aussi mémoriser le tableau des angles usuels ($0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$) grâce à la « règle des racines » : les cosinus valent $\frac{\sqrt{4}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{0}}{2}$. Visualiser le cercle trigonométrique aide énormément à ne rien confondre.
Le radian est l'unité d'angle utilisée en analyse pour la fonction cosinus. Pour convertir, il faut se souvenir que $180°$ correspond à $\pi$ radians. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$. Par exemple, $60°$ donne $60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$. À l'inverse, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\frac{180}{\pi}$. Pense à vérifier que ta calculatrice est bien réglée sur le bon mode (degré ou radian) avant tout calcul.
Le cosinus intervient dans de nombreux domaines concrets, souvent sans qu'on s'en rende compte. En physique, il décrit les phénomènes ondulatoires comme le son, la lumière ou le courant électrique alternatif. En architecture et en construction, il permet de calculer des longueurs et des angles. On le retrouve aussi dans le GPS, l'imagerie médicale, la musique numérique et l'animation 3D. Comprendre le cosinus, c'est donc acquérir un outil précieux pour beaucoup de métiers scientifiques et techniques.