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En mathématiques, une fonction est comme une machine : tu entres un nombre x, et la machine te renvoie un résultat f(x). Mais attention, cette machine ne fonctionne pas avec tous les nombres ! Certaines valeurs de x la font « planter ». L'ensemble de définition, aussi appelé domaine de définition, c'est justement l'ensemble de tous les nombres que tu as le droit de mettre dans la machine. Comprendre cette notion est essentiel, car elle te servira dans toutes les classes pour étudier les fonctions, tracer des courbes et résoudre des problèmes. Dans ce cours, tu vas apprendre à le déterminer facilement, étape par étape.
L'ensemble de définition d'une fonction $f$, aussi appelé domaine de définition, est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible. On le note $D_f$.
Autrement dit :
$$
D_f = \{x \mid f(x) \text{ existe}\}
$$
Il ne faut pas confondre l'ensemble de départ et l'ensemble de définition. L'ensemble de départ, c'est l'ensemble dans lequel on choisit les valeurs de $x$ au début (souvent $\mathbb{R}$). L'ensemble de définition, lui, est le sous-ensemble de l'ensemble de départ pour lequel le calcul aboutit réellement à un résultat. Par exemple, si une fonction contient une division, on retire les valeurs qui annulent le dénominateur.
Prenons un exemple simple : la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Son ensemble de départ peut être $\mathbb{R}$, mais on ne peut pas diviser par zéro. Donc $x = 0$ est interdit, et $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
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On voit sur la courbe représentative de la fonction inverse que tous les nombres réels ont une inverse sauf 0.
Il existe deux grandes méthodes pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
1. À partir de l'expression algébrique. Tu regardes la formule de $f(x)$ et tu repères les « opérations interdites » : une division (le dénominateur ne doit pas être nul), une racine carrée (ce qui est dessous doit être positif ou nul), ou un logarithme (son argument doit être strictement positif). Tu poses alors les conditions nécessaires, tu les résous, et tu obtiens $D_f$. S'il n'y a aucune opération interdite, alors $D_f = \mathbb{R}$.
2. À partir de la représentation graphique. Si on te donne la courbe de la fonction, l'ensemble de définition correspond à toutes les abscisses (les valeurs de $x$) pour lesquelles la courbe existe. Concrètement, tu « projettes » la courbe sur l'axe des abscisses. L'ombre projetée sur l'axe horizontal te donne directement $D_f$.
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La courbe représentative de la fonction racine carrée ci-dessus montre les les points de la courbe se projettent sur la partie positive ou nulle de l’axe des abscisses.
Certaines opérations mathématiques n'ont tout simplement pas de résultat pour toutes les valeurs. Ces « interdictions » sont la raison principale pour laquelle un ensemble de définition n'est pas toujours $\mathbb{R}$ tout entier. Les connaître par cœur est indispensable : dès que tu vois une de ces opérations dans une expression, tu sais qu'il faudra poser une condition et la résoudre. Voyons les trois cas les plus fréquents au collège et au lycée.
En mathématiques, on ne peut jamais diviser par zéro. Un dénominateur doit donc toujours être différent de zéro. La règle est simple : dénominateur $\neq 0$.
Prenons l'exemple $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$. Pour que le calcul soit possible, il faut que le dénominateur ne soit pas nul :
$$
x - 2 \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \neq 2
$$
On résout donc l'équation $x - 2 = 0$ (qui donne $x = 2$) pour trouver la valeur interdite, puis on l'exclut. Ainsi $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. La règle est donc : l'expression sous la racine doit être positive ou nulle, c'est-à-dire $\geq 0$.
Prenons $f(x) = \sqrt{x - 3}$. Il faut :
$$
x - 3 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 3
$$
On résout donc l'inéquation associée. La fonction est définie pour tous les $x$ supérieurs ou égaux à $3$, donc $D_f = [3\,;\,+\infty[$.
La fonction logarithme népérien $\ln$ n'existe que pour des nombres strictement positifs. La règle est : l'argument du $\ln$ doit être $> 0$ (attention, strictement, on n'inclut pas le zéro).
Prenons $f(x) = \ln(2x + 1)$. Il faut :
$$
2x + 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > -\dfrac{1}{2}
$$
On résout donc cette inéquation stricte. La fonction est définie pour $x > -\dfrac{1}{2}$, donc $D_f = \left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.
Selon la forme de la fonction, la méthode de résolution change un peu. Voici les cas classiques que tu rencontreras, avec leur logique de résolution.
Une fonction polynomiale (par exemple $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$ est composée uniquement d'additions, de soustractions et de multiplications de puissances de $x$. Il n'y a aucune opération interdite : ni division, ni racine, ni logarithme. On peut donc remplacer $x$ par n'importe quel nombre réel. Résultat : $D_f = \mathbb{R}$.
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. La méthode complète est la suivante :
Exemple : $f(x) = \dfrac{x + 5}{x^2 - 9}$. On résout $x^2 - 9 = 0$, soit $x^2 = 9$, donc $x = 3$ ou $x = -3$. On exclut ces deux valeurs :
$$
D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\,;\,3\} = \,]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]-3\,;\,3[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[
$$
La méthode consiste à poser l'inéquation « expression sous la racine $\geq 0$ », puis à la résoudre selon son degré.
Exemple du premier degré : $f(x) = \sqrt{2x - 4}$. On résout $2x - 4 \geq 0$, soit $x \geq 2$. Donc $D_f = [2\,;\,+\infty[$.
Pour une expression du second degré, on utilise un tableau de signes ou l'étude d'une parabole. Par exemple $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$ : on cherche où $x^2 - 1 \geq 0$, ce qui donne $D_f = \,]-\infty\,;\,-1]\,\cup\,[1\,;\,+\infty[$.
La méthode : poser l'inéquation stricte « argument $> 0$ », la résoudre, puis écrire l'intervalle.
Exemple : $f(x) = \ln(x - 4)$. On résout $x - 4 > 0$, soit $x > 4$. On obtient donc :
$$
D_f = \,]4\,;\,+\infty[
$$
L'intervalle est ouvert car la borne $4$ est exclue (le logarithme de $0$ n'existe pas).
Quand une fonction combine plusieurs opérations interdites, il faut respecter toutes les conditions en même temps : on prend l'intersection des ensembles trouvés.
Exemple : $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x + 2}$. Deux conditions :
La valeur $-2$ n'appartient déjà pas à $[1\,;\,+\infty[$, elle ne pose donc pas de problème ici. L'ensemble de définition est l'intersection des deux conditions : $D_f = [1\,;\,+\infty[$.
Ces deux notions consistent à modifier volontairement l'ensemble de définition d'une fonction, soit pour la rétrécir, soit pour l'agrandir. Elles sont utiles pour des raisons théoriques (rendre une fonction bijective par exemple) ou pratiques.
Restreindre une fonction, c'est décider de ne l'étudier que sur une partie de son ensemble de définition. On garde la même formule, mais on limite les valeurs de $x$ autorisées.
Exemple : la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$, mais elle n'est pas bijective (deux valeurs opposées donnent le même résultat). Si on la restreint à $[0\,;\,+\infty[$, elle devient croissante et bijective, ce qui permet de définir sa fonction réciproque (la racine carrée).
À l'inverse, prolonger une fonction, c'est ajouter une ou plusieurs valeurs à son ensemble de définition, en donnant un résultat là où la formule initiale n'existait pas.
Exemple : $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ n'est pas définie en $0$. Pourtant, quand $x$ s'approche de $0$, $f(x)$ s'approche de $1$. On peut donc « prolonger par continuité » en posant $f(0) = 1$.
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En revanche, f(x) = \dfrac{1}{x} ne peut pas être prolongée en 0 par continuité, car elle tend vers l'infini : on ne pourrait qu'attribuer une valeur arbitraire.
Rien ne vaut la pratique pour maîtriser cette notion ! Sur Corrigeo, nous avons préparé des exercices corrigés en vidéo, expliqués pas à pas avec une vraie pédagogie. Tu y retrouveras des fonctions rationnelles, des racines carrées, des logarithmes et des fonctions composées, résolus lentement et clairement pour que tu comprennes chaque étape du raisonnement. Regarde les vidéos, mets sur pause, refais les calculs de ton côté, puis compare : c'est la meilleure façon de progresser rapidement et de gagner en confiance avant tes contrôles.
Voici un récapitulatif des règles essentielles à retenir absolument :
À retenir : repère d'abord les opérations interdites (division, racine, logarithme). Pose la ou les conditions, résous les (in)équations, puis écris le résultat avec des intervalles ou la notation ℝ privé de certaines valeurs. Attention : la racine utilise ≥ (borne incluse) alors que le logarithme utilise > (borne exclue).
L'ensemble de départ est l'ensemble dans lequel on choisit au départ les valeurs de $x$ (souvent $\mathbb{R}$). L'ensemble de définition est le sous-ensemble de cet ensemble de départ pour lequel le calcul de $f(x)$ aboutit réellement à un résultat. Autrement dit, l'ensemble de définition est toujours contenu dans l'ensemble de départ. On retire de l'ensemble de départ toutes les valeurs interdites (division par zéro, racine d'un négatif, logarithme d'un nombre négatif ou nul) pour obtenir l'ensemble de définition.
Pour une fonction contenant une racine carrée, il faut que l'expression située sous la racine soit positive ou nulle. Tu poses donc l'inéquation « expression sous la racine $\geq 0$ », puis tu la résous. Par exemple, pour $f(x) = \sqrt{x - 3}$, tu résous $x - 3 \geq 0$, ce qui donne $x \geq 3$ et donc $D_f = [3\,;\,+\infty[$. Si l'expression est du second degré, utilise un tableau de signes ou l'étude de la parabole pour trouver l'intervalle solution final.
Diviser $a$ par $b$, c'est chercher un nombre qui, multiplié par $b$, redonne $a$. Or, aucun nombre multiplié par zéro ne peut donner un résultat non nul : le calcul est donc impossible. Et si $a$ vaut aussi zéro, alors n'importe quel nombre conviendrait, ce qui rend le résultat indéterminé. Dans les deux cas, la division par zéro n'a pas de sens. C'est pourquoi, dans un ensemble de définition, on exclut toujours les valeurs de $x$ qui annulent un dénominateur.
On utilise le symbole $\setminus$ (privé de) suivi des valeurs interdites entre accolades. Par exemple, si $x = 2$ est interdit, on écrit $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. On peut aussi utiliser la notation avec des intervalles reliés par le symbole d'union $\cup$. Par exemple, $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ s'écrit aussi $\,]-\infty\,;\,2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$. Les deux notations sont équivalentes et acceptées : choisis celle qui est la plus claire selon le nombre de valeurs à exclure.
Oui, toujours. Une fonction polynomiale est constituée uniquement d'additions, de soustractions et de multiplications de puissances de $x$ (comme $f(x) = 3x^3 - 2x + 5$). Elle ne contient jamais de division par une expression avec $x$, ni de racine carrée, ni de logarithme. Il n'y a donc aucune opération interdite, et tu peux remplacer $x$ par n'importe quel nombre réel sans problème. Par conséquent, l'ensemble de définition d'un polynôme est toujours $D_f = \mathbb{R}$, quel que soit son degré.