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Image et antécédent : c'est souvent là qu'on se mélange les pinceaux en Seconde. Pourtant, une fois la logique comprise, ce sont des points faciles à gagner. Suis ce cours pas à pas pour ne plus jamais confondre les deux.
Une fonction, c'est comme une machine : tu entres un nombre, elle le transforme, et elle te ressort un autre nombre. Le nombre que tu entres et le nombre qui sort ont chacun un nom précis.
On note une fonction $f$ et on écrit $f(x) = y$. Ici, $x$ est le nombre de départ (ce que tu entres dans la machine) et $y$ est le nombre d'arrivée (ce que la machine renvoie). La grande différence est donc simple : l'image est le résultat, l'antécédent est le point de départ.
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L'image d'un nombre est le résultat obtenu quand on applique la fonction à ce nombre. Autrement dit, c'est ce qui sort de la machine.
Par exemple, si $f(x) = 2x + 1$, alors l'image de $3$ est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$. On dit que « l'image de 3 par $f$ est 7 », ce qui s'écrit $f(3) = 7$. Chaque nombre de départ a toujours une seule image : la machine ne peut donner qu'un seul résultat à la fois. La notation $f(x)$ se lit « $f$ de $x$ » et désigne l'image de $x$.
L'antécédent est la valeur de départ qui donne une image donnée. C'est le nombre que tu avais avant d'utiliser la machine.
Par exemple, avec $f(x) = 2x + 1$, on peut chercher l'antécédent de $7$ : on cherche le nombre $x$ tel que $f(x) = 7$. Ici, c'est $3$, car $f(3) = 7$.
Attention : contrairement à l'image, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou même aucun. Cela dépend de la fonction. Par exemple, avec $f(x) = x^2$, le nombre $4$ a deux antécédents : $2$ et $-2$.
Quand on connaît l'expression de la fonction (comme $f(x) = 3x - 2$), on peut calculer images et antécédents directement, sans graphique. La méthode change selon ce qu'on cherche.
Pour calculer une image, il suffit de remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression, puis de calculer.
Exemple 1 (fonction affine) : soit $f(x) = 3x - 2$. L'image de $5$ est :
$$
f(5) = 3 \times 5 - 2 = 15 - 2 = 13
$$
Exemple 2 (fonction du second degré) : soit $g(x) = x^2 + 1$. L'image de $-2$ est :
$$
g(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5
$$
Pense bien à mettre les nombres négatifs entre parenthèses pour éviter les erreurs de signe. Le calcul d'une image donne toujours un résultat unique.
Pour calculer un antécédent, on doit résoudre l'équation $f(x) = y$, où $y$ est l'image donnée. On cherche donc la ou les valeurs de $x$.
Exemple : avec $f(x) = 3x - 2$, cherchons l'antécédent de $13$. On résout :
$$
3x - 2 = 13 \quad \Rightarrow \quad 3x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5
$$
L'antécédent de $13$ est donc $5$.
Selon la fonction, l'équation peut avoir plusieurs solutions (par exemple avec $x^2$, qui donne souvent deux antécédents) ou aucune solution (dans ce cas, le nombre n'a pas d'antécédent).
Quand on dispose de la courbe représentative d'une fonction, on peut lire directement images et antécédents sans calcul. Il faut utiliser les projections sur les deux axes : l'axe des abscisses (horizontal, pour les $x$) et l'axe des ordonnées (vertical, pour les $y$).
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Pour lire l'image d'un nombre $a$ :
Par exemple, si en partant de $a = 2$ tu arrives à la hauteur $3$ sur l'axe vertical, alors $f(2) = 3$.
Pour lire un antécédent, on fait la démarche inverse :
Attention : la droite horizontale peut couper la courbe en plusieurs points. Dans ce cas, le nombre a plusieurs antécédents, et il faut tous les lire. Dans l’exemple ci-dessus, k a deux antécédents x1 et x2.
Un tableau de valeurs donne certaines correspondances entre $x$ et $f(x)$. La ligne du haut contient les valeurs de $x$, la ligne du bas contient les images $f(x)$.
Pour trouver une image : on cherche $x$ dans la ligne du haut, puis on lit la valeur juste en dessous. Pour trouver un antécédent : on cherche la valeur dans la ligne du bas, puis on lit le $x$ correspondant juste au-dessus.
Dans ce tableau, l'image de $2$ est $4$, et le nombre $1$ a deux antécédents : $-1$ et $1$.
La limite de cette méthode est qu'elle ne donne que quelques valeurs. Si le nombre cherché n'apparaît pas dans le tableau, on ne peut pas conclure exactement : il faudrait alors l'expression de la fonction ou sa courbe pour être précis.
Rien ne remplace la pratique ! Sur Corrigeo, tu trouves des exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner sur l'image et l'antécédent. Chaque correction est expliquée pas à pas, avec des méthodes claires et des astuces pour éviter les erreurs classiques.
Tu peux mettre en pause, revoir un passage difficile, et refaire l'exercice à ton rythme. C'est l'idéal pour bien comprendre avant un contrôle et transformer ces points « faciles » en points gagnés.
Voici l'essentiel à retenir en un coup d'œil :
À retenir : image = résultat, antécédent = départ. Pour l'image on calcule, pour l'antécédent on résout une équation.
L'image est le résultat obtenu par la fonction, c'est-à-dire $f(x)$. L'antécédent est la valeur de départ, le nombre $x$ que l'on entre au début. Pense à une machine : tu mets un nombre dedans (l'antécédent), elle le transforme, et elle ressort un autre nombre (l'image). Par exemple, avec $f(x) = 2x$, l'image de $3$ est $6$, et l'antécédent de $6$ est $3$. Retiens simplement : image = arrivée, antécédent = départ.
Oui, tout à fait. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou même aucun. Cela dépend du type de fonction. Par exemple, avec la fonction $f(x) = x^2$, le nombre $1$ possède deux antécédents : $1$ et $-1$, car $f(1) = 1$ et $f(-1) = 1$. En revanche, une fonction affine (comme $f(x) = 2x + 1$) donne toujours un seul antécédent. L'image, elle, est toujours unique.
Pour lire l'image de $x$ sur une courbe, suis trois étapes. D'abord, repère la valeur de $x$ sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses). Ensuite, monte verticalement jusqu'à toucher la courbe de la fonction. Enfin, projette-toi horizontalement vers l'axe vertical (l'axe des ordonnées) et lis la valeur : c'est l'image de $x$. On peut résumer par « je pars du bas, je monte à la courbe, puis je lis à gauche ».
Si l'équation $f(x) = y$ n'a aucune solution, cela signifie simplement que $y$ n'a pas d'antécédent par la fonction $f$. Ce n'est pas une erreur, c'est un résultat possible. Par exemple, avec $f(x) = x^2$, le nombre $-1$ n'a pas d'antécédent, car un carré est toujours positif ou nul : aucun $x$ ne donne $x^2 = -1$. Dans ta réponse, tu peux donc conclure clairement que le nombre cherché n'a pas d'antécédent.
Oui, on peut trouver une image sans l'expression, grâce à un graphique ou à un tableau de valeurs. Sur un graphique, on lit l'image en projetant sur les axes. Dans un tableau, on cherche le $x$ dans la ligne du haut et on lit sa valeur en dessous. Mais ces méthodes ont des limites : le graphique donne souvent une valeur approchée, et le tableau ne contient que quelques nombres. Pour un résultat exact et pour n'importe quelle valeur, l'expression algébrique reste indispensable.