Le PGCD et le PPCM sont deux notions incontournables au collège comme au lycée. Elles servent à simplifier des fractions, à trouver un dénominateur commun ou à résoudre des problèmes concrets. Dans cet article, tu vas découvrir des méthodes simples et rapides pour les calculer, avec des exemples clairs, une fiche de révision et des exercices corrigés pour progresser à ton rythme.
Le PGCD signifie Plus Grand Commun Diviseur. C'est le plus grand nombre qui divise à la fois deux (ou plusieurs) nombres entiers. Par exemple, le PGCD de 12 et 18 est 6, car 6 est le plus grand nombre qui divise ces deux valeurs sans reste.
Le PPCM signifie Plus Petit Commun Multiple. C'est le plus petit nombre (autre que 0) qui est un multiple des deux nombres à la fois. Par exemple, le PPCM de 4 et 6 est 12.
Ces deux outils sont très utiles : en mathématiques, le PGCD sert à simplifier des fractions et le PPCM à les additionner en trouvant un dénominateur commun. On les retrouve aussi dans le quotidien (synchroniser deux événements qui se répètent) et en informatique (algorithmes de calcul).
Ces deux notions fonctionnent selon des logiques opposées. Le PGCD cherche à diviser : on descend vers un nombre plus petit. Le PPCM cherche à multiplier : on monte vers un nombre plus grand. Le PGCD est donc toujours inférieur ou égal aux nombres de départ, tandis que le PPCM leur est supérieur ou égal.
Cette méthode consiste à lister tous les diviseurs de chaque nombre, puis à repérer les diviseurs communs. Prenons l'exemple de 12 et 18.
Étape 1 : on écrit les diviseurs de chaque nombre.
Étape 2 : on repère les diviseurs communs : 1, 2, 3 et 6.
Étape 3 : le plus grand des diviseurs communs est le PGCD, donc PGCD(12 ; 18) = 6.
Étape 4 : on peut ensuite déduire le PPCM grâce à la formule (voir plus loin) :
🖼️ Visuel suggéré : tableau chiffré listant les diviseurs de 12 et 18, avec mise en couleur du plus grand commun diviseur (6).
Cette méthode est idéale pour de petits nombres. Pour de grands nombres, elle devient longue : on utilisera alors les méthodes suivantes.
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme un produit de nombres premiers (2, 3, 5, 7…). On construit un « arbre » en divisant progressivement.
Exemple avec 60 :
🖼️ Visuel suggéré : schéma en forme d'arbre de décomposition (60 → 2 × 30 → 2 × 15 → 3 × 5).
Prenons maintenant 60 et 24 :
Pour le PGCD, on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant :
Pour le PPCM, on garde tous les facteurs avec le plus grand exposant :
🖼️ Visuel suggéré : regroupement visuel (diagramme) montrant les facteurs communs et non communs pour obtenir le PGCD et le PPCM.
Pour de grands nombres, l'algorithme d'Euclide est la méthode la plus rapide. Le principe : le PGCD de deux nombres est égal au PGCD du plus petit et du reste de leur division. On répète jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple avec 252 et 105 :
Le dernier reste non nul est 21, donc PGCD(252 ; 105) = 21.
🖼️ Visuel suggéré : organigramme simplifié de l'algorithme d'Euclide (utile pour illustrer l'aspect informatique).
Il existe une relation très pratique entre le PGCD et le PPCM de deux nombres $a$ et $b$ :
Cette formule vient du fait que le produit des deux nombres est toujours égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM :
$$
a \times b = PGCD(a ; b) \times PPCM(a ; b)
$$
Exemple avec 252 et 105. On a trouvé PGCD = 21, donc :
$$
PPCM(252 ; 105) = \frac{252 \times 105}{21} = \frac{26460}{21} = 1260
$$
L'avantage est énorme : dès que tu connais le PGCD (grâce à l'algorithme d'Euclide, par exemple), tu obtiens le PPCM en une seule opération, sans lister les multiples.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de donner la réponse : on t'explique chaque étape en vidéo, avec un vrai professeur qui détaille le raisonnement. Tu peux mettre en pause, revenir en arrière et refaire l'exercice à ton rythme. C'est la meilleure façon de comprendre pourquoi on utilise telle ou telle méthode, et pas seulement comment.
Nos corrections couvrent les décompositions, l'algorithme d'Euclide, la simplification de fractions et les problèmes concrets, du niveau collège au lycée.
🖼️ Visuel suggéré : bloc ou carrousel de miniatures vidéos renvoyant vers les vidéos d'exercices corrigés sur le PGCD et le PPCM.
📄 FICHE MÉMO — PGCD & PPCM
🖼️ Visuel suggéré : encadré pédagogique ou image type fiche mémo reprenant ce tableau de synthèse.
Pour de petits nombres, le tableau des diviseurs suffit. Mais pour des nombres plus grands, l'algorithme d'Euclide est de loin le plus rapide : on effectue des divisions successives jusqu'à obtenir un reste nul, et le dernier reste non nul donne le PGCD. Cette méthode évite de lister tous les diviseurs et fonctionne même avec des nombres très grands, en quelques étapes seulement.
Oui, dans la quasi-totalité des cas. Le PGCD divise les deux nombres, il est donc inférieur ou égal à eux. Le PPCM est un multiple des deux nombres, il leur est donc supérieur ou égal. Le seul cas où PGCD et PPCM sont égaux se produit quand les deux nombres sont identiques : par exemple, pour 8 et 8, le PGCD et le PPCM valent tous les deux 8.
Oui, la plupart des calculatrices scientifiques disposent de fonctions dédiées, souvent notées « gcd » (PGCD) et « lcm » (PPCM), dans le menu des nombres entiers. Il suffit d'entrer les deux valeurs pour obtenir le résultat instantanément. C'est très pratique pour vérifier ton travail, mais en contrôle il est essentiel de savoir aussi faire le calcul à la main, car la méthode est souvent exigée.
On utilise le PGCD pour simplifier une fraction, c'est-à-dire l'écrire avec les plus petits nombres possibles. Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Par exemple, pour 12/18, le PGCD est 6 : on obtient 2/3. La fraction est alors dite « irréductible ». C'est plus simple à lire, à comparer et à utiliser dans les calculs suivants.
Oui, tout à fait. La méthode la plus simple est la décomposition en facteurs premiers : on décompose chaque nombre, puis on garde tous les facteurs premiers présents avec leur plus grand exposant. Par exemple, pour 4, 6 et 10, on obtient un PPCM de 60. On peut aussi procéder par étapes : calculer le PPCM des deux premiers nombres, puis le PPCM de ce résultat avec le troisième nombre.