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Les vecteurs colinéaires sont un outil très utile du programme de Mathématiques. Grâce à eux, tu peux démontrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés sans faire de dessin compliqué. C'est un concept simple à comprendre qui te servira toute ta scolarité. Dans ce cours, tu découvriras la définition claire des vecteurs colinéaires, les deux méthodes pour les reconnaître, leurs applications géométriques, leurs propriétés, ainsi qu'une fiche de révision et une FAQ.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que :
$$
\vec{u} = k \cdot \vec{v}
$$
Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Cela signifie qu'ils ont la même direction : ils sont portés par des droites parallèles (ou par la même droite).
Pour bien comprendre : si tu prends un vecteur et que tu l'agrandis, le réduis ou le retournes dans l'autre sens, tu obtiens toujours un vecteur colinéaire au premier. Le nombre $k$ te dit justement combien de fois le vecteur est plus grand ou plus petit, et son signe indique s'ils vont dans le même sens ($k > 0$) ou dans le sens opposé ($k < 0$).
Convention sur le vecteur nul : par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tous les vecteurs. C'est important à retenir pour éviter les pièges.
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Le vecteur \vec{OB} est colinéaire au vecteur \vec{u} car \vec{OB}=2\vec{u} : ils ont même direction, même sens car k>0 et la norme de \vec{OB} vaut deux fois celle de \vec{u}. De même, le vecteur \vec{OC} est colinéaire au vecteur \vec{u} car \vec{OB}=-\frac{1}{2}\vec{u} : ils ont même direction, des sens opposés car k<0 et la norme de \vec{OB} vaut la moitié de celle de \vec{u}.
Il existe deux méthodes principales pour vérifier si deux vecteurs sont colinéaires. La première consiste à chercher directement le coefficient $k$ : elle est rapide quand les coordonnées sont simples. La seconde utilise une formule appelée déterminant (ou condition analytique de colinéarité) : elle fonctionne dans tous les cas et c'est souvent la plus sûre. Voyons ces deux méthodes en détail.
Cette méthode consiste à vérifier si l'on peut passer d'un vecteur à l'autre en multipliant par un même nombre $k$.
Prenons $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$.
On regarde d'abord les abscisses : $4 = 2 \times 2$, donc $k = 2$.
On vérifie ensuite avec les ordonnées : $-6 = 2 \times (-3)$, ce qui est bien vrai.
Comme on trouve le même coefficient $k = 2$ pour les deux coordonnées, on peut écrire :
$$
\vec{u} = 2\,\vec{v}
$$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc colinéaires. Attention : si le coefficient trouvé pour les abscisses est différent de celui des ordonnées, les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Cette méthode est la plus fiable. Soient deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$. Ils sont colinéaires si et seulement si :
$$
xy' - yx' = 0
$$
Ce nombre $xy' - yx'$ s'appelle le déterminant des deux vecteurs. S'il vaut $0$, les vecteurs sont colinéaires. C'est en fait une façon de vérifier la proportionnalité entre les coordonnées.
Exemple : avec $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ :
$$
xy' - yx' = 4 \times (-3) - (-6) \times 2 = -12 + 12 = 0
$$
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. Cette méthode fonctionne toujours, même avec des nombres compliqués. Tu peux retenir la formule en t’aidant du schéma suivant:
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La colinéarité n'est pas qu'une notion abstraite : c'est un véritable outil pour résoudre des problèmes de géométrie. Grâce à elle, tu peux prouver rigoureusement, à l'aide de calculs, que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. Plus besoin de te fier seulement à un dessin qui peut tromper : les calculs donnent une preuve certaine.
Propriété : Si A, B, C et D sont quatre points du plan, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
Exercice résolu : on donne A(1 ; 2), B(3 ; 6), C(0 ; 1) et D(2 ; 5). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs :
$$
\vec{AB}\begin{pmatrix} 3-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad \vec{CD}\begin{pmatrix} 2-0 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}
$$
On applique la condition de colinéarité :
$$
2 \times 4 - 4 \times 2 = 8 - 8 = 0
$$
Le déterminant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires : les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On aurait pu également remarquer tout de suite que les deux vecteurs sont égaux, donc colinéaires (facteur 1).
Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut montrer que leur vecteur directeur sont colinéaires: ci-dessous, les droites (D) et (D’) sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires..
Propriété : trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Exercice type : on donne A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(5 ; 7). Ces trois points sont-ils alignés ?
On calcule les vecteurs :
$$
\vec{AB}\begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad \vec{AC}\begin{pmatrix} 5-1 \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
$$
On calcule le déterminant :
$$
2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0
$$
Le résultat est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires : les points A, B et C sont alignés. On peut également remarquer tout de suite que $\vec{AC}=2\vec{AB}$.
La colinéarité possède trois propriétés qui en font une relation d'équivalence. Voici ce que cela signifie de façon simple :
Ces trois propriétés te permettent d'enchaîner les raisonnements sans risque d'erreur.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de te donner la réponse : on t'explique chaque étape en vidéo avec une vraie pédagogie. Tu peux ainsi voir comment un professeur réfléchit, quelles méthodes il choisit et comment il évite les pièges classiques.
Nos vidéos couvrent tous les types d'exercices sur les vecteurs colinéaires : recherche du coefficient $k$, utilisation du déterminant, démonstration de parallélisme, alignement de points et exercices type contrôle. Regarde, mets sur pause, refais l'exercice de ton côté, puis vérifie ta correction : c'est la meilleure façon de progresser.
Voici l'essentiel à retenir, à relire avant un contrôle :
Tu as deux méthodes. La première : vérifier si l'un est un multiple de l'autre, c'est-à-dire trouver un nombre $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (le même $k$ doit marcher pour les abscisses et les ordonnées). La seconde, la plus sûre : calculer le déterminant $xy' - yx'$. Si ce résultat vaut $0$, alors les deux vecteurs sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas. Cette dernière méthode fonctionne dans tous les cas, même avec des nombres compliqués.
En réalité, on ne dit pas que des vecteurs sont « parallèles » : on dit qu'ils sont colinéaires. Le mot parallèle s'emploie pour des droites. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, donc les droites qui les portent sont parallèles. C'est le lien entre les deux notions : ce sont les droites qui sont parallèles, tandis que les vecteurs qui les dirigent sont colinéaires. Retiens donc : vecteurs → colinéaires, droites → parallèles.
Oui, par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tous les vecteurs. Cela vient du fait que le vecteur nul n'a pas de direction précise, on peut donc considérer qu'il « suit » n'importe quelle direction. C'est une règle pratique qui permet d'éviter des cas particuliers gênants dans les démonstrations. Attention cependant : dans la définition classique du coefficient $k$, on parle de deux vecteurs non nuls, car on ne peut pas trouver de $k$ à partir du vecteur nul.
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Concrètement : calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en faisant « coordonnées de l'arrivée moins coordonnées du départ ». Puis calcule le déterminant $xy' - yx'$. Si le résultat vaut $0$, les vecteurs sont colinéaires et donc les trois points sont alignés. Si le déterminant n'est pas nul, les points forment un triangle et ne sont pas alignés.
Oui, tout à fait. Deux vecteurs colinéaires peuvent aller dans le même sens ou dans des sens opposés, cela dépend du signe du coefficient $k$. Si $k > 0$, les vecteurs pointent dans le même sens. Si $k < 0$, ils pointent dans des sens opposés, mais ils restent colinéaires car ils gardent la même direction. Par exemple, $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ sont colinéaires avec $k = -2$, donc de sens opposés.