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Le tableau de variation est un outil incontournable pour étudier une fonction. Dans ce guide simple, tu vas apprendre à le construire pas à pas, avec des exemples clairs, pour comprendre quand une fonction monte, descend et où se trouvent ses extremums.
Un tableau de variation est un petit tableau qui résume le comportement d’une fonction. Il indique, à l’aide de flèches, sur quels intervalles la fonction monte (elle est croissante, flèche ↑) ou descend (elle est décroissante, flèche ↓). Il permet aussi de repérer facilement les extremums : les points les plus hauts (maximum) et les plus bas (minimum).
Son rôle est de donner une vision globale et rapide de la fonction, sans avoir à tracer toute la courbe. C’est un outil très utile en cours comme aux examens, car il condense beaucoup d’informations en un seul visuel. La première ligne contient la variable $x$ avec les valeurs importantes du domaine, et la seconde ligne montre les variations de $f(x)$ grâce aux flèches et aux valeurs aux bornes.
Par exemple, pour la fonction $f(x) = x^2$, la fonction décroît sur $]-\infty ; 0]$ puis croît sur $[0 ; +\infty[$. Le minimum se trouve en $x = 0$, où $f(0) = 0$.
Construire un tableau de variation suit toujours la même logique. En respectant ces 5 étapes dans l’ordre, tu obtiendras un tableau correct à chaque fois.
Avant tout calcul, il faut savoir sur quel ensemble la fonction est définie. Le domaine de définition correspond à toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe. Certaines valeurs sont interdites :
Par exemple, pour $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$, la valeur $x = 2$ est exclue. Le domaine est donc $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$.
La dérivée $f'(x)$ est l’outil clé : c’est son signe qui décide si la fonction monte ou descend. Voici les règles de dérivation les plus utiles :
Pense toujours à simplifier l’écriture de la dérivée : une dérivée bien réduite est beaucoup plus facile à étudier pour la suite.
Il faut ensuite trouver où $f'(x)$ s’annule en résolvant l’équation $f'(x) = 0$. Ces valeurs sont les points critiques : c’est là que la fonction peut changer de sens.
On construit alors un tableau de signe de la dérivée : entre chaque point critique, on détermine si $f'(x)$ est positive (+) ou négative (−). Une astuce simple consiste à remplacer $x$ par une valeur test choisie dans chaque intervalle.
On reporte maintenant les résultats dans le tableau final. La première ligne contient les valeurs importantes de $x$ (bornes du domaine et points critiques). La deuxième ligne montre les variations de $f(x)$ :
Aux bornes et aux extremums, on écrit les valeurs de la fonction. Un changement de + à − indique un maximum, un changement de − à + indique un minimum.
Tracer la courbe permet de vérifier que le tableau est cohérent. La courbe doit monter là où tu as mis une flèche ↑ et descendre là où tu as mis une flèche ↓. Les extremums du tableau doivent correspondre aux « sommets » et « creux » de la courbe. Si la courbe ne suit pas les flèches, c’est qu’il y a une erreur à reprendre.
Étudions la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$, définie sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 — Dérivée. On dérive terme à terme :
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
Étape 2 — Points critiques. On résout $f'(x) = 0$ :
$$
3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \ \text{ou} \ x = 1
$$
Étape 3 — Signe de la dérivée. Comme $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$, c’est un polynôme du second degré positif à l’extérieur de ses racines -1 et 1
Étape 4 — Valeurs des extremums. On calcule : $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ (maximum local) et $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ (minimum local).
Étape 5 — Tableau de variation.
On lit ainsi : la fonction croît jusqu’à un maximum de 3 en x = -1, décroît jusqu’à un minimum de −1 en x = 1, puis croît à nouveau.
Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, la dérivée est constante : $f'(x) = a$. Le tableau de variation est donc immédiat. Si $a > 0$, la fonction est croissante partout ; si $a < 0$, elle est décroissante partout ; si $a = 0$, elle est constante. Une fonction linéaire ($f(x) = ax$) suit exactement la même règle. Pas besoin de tableau de signe compliqué : le sens de variation dépend uniquement du signe de $a$.
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Pour les polynômes de degré 3 ou plus, on peut rencontrer des points d’inflexion : ce sont des endroits où la courbe change de courbure (elle passe de « creux vers le haut » à « creux vers le bas »). Un point d’inflexion n’est pas forcément un extremum : la fonction peut continuer de croître tout en changeant de courbure. Le tableau de variation reste basé sur le signe de $f'(x)$, mais il est utile de connaître ces points pour un tracé précis. Lorsque la fonction est deux fois dérivable sur son ensemble de définition, les points d’inflexion correspondent aux x qui annulent la dérivée seconde. Lorsque la dérivée seconde est positive la fonction est convexe, lorsqu’elle est négative, la fonction est concave. Au passage d’un point d’inflexion, la courbe passe de concave à convexe ou inversement. Afin d’étudier la courbure d’une fonction il faut donc étudier sa dérivée seconde.
Par exemple la fonction cube $f(x) = x^3$ admet un point d’inflexion en x=0.
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes, comme $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur : elles créent des asymptotes verticales et des discontinuités. Dans le tableau, on place une double barre à ces valeurs interdites pour marquer la coupure. La fonction peut tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ de part et d’autre de l’asymptote. On étudie ensuite le signe de la dérivée sur chaque morceau du domaine séparément.
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Chaque famille a ses spécificités. La fonction exponentielle $e^x$ est toujours croissante car sa dérivée $e^x$ est toujours positive. La fonction logarithme $\ln(x)$ est aussi croissante, mais définie seulement sur $]0 ; +\infty[$. Les fonctions trigonométriques comme $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont périodiques : leurs variations se répètent, on étudie donc souvent un seul intervalle (comme $[0 ; 2\pi]$). Il faut bien connaître leurs dérivées : $(\sin x)' = \cos x$ et $(\cos x)' = -\sin x$.
Tableau de variations et courbe représentative de la fonction exponentielle:
Tableau de variations et courbe représentative de la fonction logarithme népérien:
Tableau de variations et courbe représentative de la fonction cosinus:
ableau de variations et courbe représentative de la fonction sinus:
Tableau de variations et courbe représentative de la fonction tangente:
Voici les fautes que l’on retrouve le plus souvent, et qu’il faut apprendre à repérer :
Le meilleur réflexe est de toujours vérifier son tableau avec la courbe à la fin.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas d’expliquer la théorie. Nos exercices corrigés en vidéo te montrent chaque étape en détail, avec une vraie pédagogie : calcul de la dérivée, tableau de signe, tableau de variation et vérification graphique. Tu avances à ton rythme, tu mets en pause, tu recommences si besoin. C’est la méthode idéale pour transformer une notion difficile en réflexe automatique et gagner des points le jour du contrôle.
Voici l’essentiel à retenir pour construire un tableau de variation sans erreur :
À mémoriser : le signe de la dérivée commande le sens de variation. Positif = ça monte, négatif = ça descend.
Le moyen le plus sûr est d’étudier le signe de la dérivée. Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, la fonction est croissante : elle monte. Si $f'(x) < 0$, elle est décroissante : elle descend. Tu peux aussi le voir graphiquement : la courbe monte de gauche à droite quand la fonction croît, et descend quand elle décroît. En résumé, le signe de la dérivée est ton meilleur indicateur pour déterminer le sens de variation.
Le tableau de signes montre où une expression (souvent la dérivée $f'(x)$) est positive ou négative, avec des + et des −. Le tableau de variation, lui, montre comment la fonction $f$ elle-même évolue, avec des flèches ↑ et ↓ et les valeurs aux extremums. En pratique, le tableau de signes de la dérivée est une étape qui sert à construire le tableau de variation. L’un précède l’autre : signe d’abord, variation ensuite.
Oui, dans certains cas simples. Pour les fonctions de référence (comme $x^2$, $\dfrac{1}{x}$, ou la fonction racine carrée), on connaît déjà leurs variations par cœur. On peut aussi lire les variations directement sur une courbe donnée. En revanche, pour une fonction plus complexe où l’on ne connaît pas le comportement à l’avance, le calcul de la dérivée reste la méthode la plus fiable et la plus rigoureuse pour ne pas se tromper.
La meilleure vérification consiste à tracer la courbe de la fonction, à la calculatrice ou à la main. La courbe doit monter là où tu as mis une flèche ↑ et descendre là où tu as mis ↓. Vérifie aussi que les extremums correspondent bien aux sommets et aux creux. Tu peux également recalculer quelques valeurs de $f(x)$ à des points précis pour confirmer. Si tout coïncide, ton tableau est cohérent et correct.