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Les relations trigonométriques relient les angles et les côtés d'un triangle rectangle grâce au sinus, au cosinus et à la tangente. Très utiles en géométrie comme en physique, elles permettent de calculer des longueurs ou des angles inconnus.
En trigonométrie, on utilise trois fonctions principales : le sinus (sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan). Ces fonctions font le lien entre un angle d'un triangle rectangle et le rapport de deux de ses côtés.
Autrement dit, si tu connais un angle et un côté, tu peux retrouver un autre côté. Et si tu connais deux côtés, tu peux retrouver un angle. C'est ce qui rend ces relations si pratiques.
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Si on considère l’angle x dans le triangle rectangle ci-dessus, AO est le côté adjacent, BO est le côté opposé et AB est l’hypoténuse.
Avant d'appliquer les formules, il faut bien reconnaître les trois côtés d'un triangle rectangle par rapport à l'angle qui t'intéresse (l'angle de référence).
Attention : le côté opposé et le côté adjacent changent selon l'angle que tu choisis ! Seule l'hypoténuse reste toujours la même.
Pour retenir les trois formules, il existe un moyen mnémotechnique très efficace : SOH CAH TOA. Chaque groupe de lettres correspond à une formule.
$$
\sin(x) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos(x) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(x) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}
$$
Une fois cette phrase mémorisée, tu peux résoudre presque tous les exercices de base sur le triangle rectangle.
La formule la plus importante à connaître est la formule fondamentale de la trigonométrie :
$$
\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1
$$
Elle est vraie pour n'importe quel angle. Elle vient directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique. Grâce à elle, si tu connais le sinus d'un angle, tu peux retrouver son cosinus, et inversement.
On en déduit aussi une autre relation utile qui relie la tangente au sinus et au cosinus :
$$
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{(avec } \cos(x) \neq 0\text{)}\\
1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\quad \text{(avec } \cos(x) \neq 0\text{)}\\
\tan(-x)=-\tan(x)
$$
Quand tu connais un rapport trigonométrique (par exemple sin = 0,5) et que tu veux retrouver l'angle, tu utilises les fonctions inverses : arcsin, arccos et arctan (notées souvent sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ sur la calculatrice).
$$
x = \arcsin\!\left(\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\right) \qquad x = \arccos\!\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right) \qquad x = \arctan\!\left(\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)
$$
Par exemple, si $\sin(x) = 0{,}5$, alors $x = \arcsin(0{,}5) = 30°$. Pense à vérifier que ta calculatrice est bien réglée en degrés (mode DEG) et non en radians.
Pour trouver un côté inconnu, tu utilises la formule qui contient les deux informations que tu connais déjà (un angle et un côté). Il suffit ensuite d'isoler l'inconnue.
Par exemple, si tu connais l'hypoténuse et un angle, et que tu cherches le côté opposé :
$$
\text{opposé} = \text{hypoténuse} \times \sin(x)
$$
Si tu cherches le côté adjacent :
$$
\text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(x)
$$
L'astuce est toujours la même : repère quels côtés interviennent, choisis la bonne fonction (SOH CAH TOA), puis résous l'équation.
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère. Pour un angle donné, on place un point sur le cercle : son abscisse (position horizontale) est le cosinus de l'angle, et son ordonnée (position verticale) est le sinus.
Ce cercle permet de comprendre deux propriétés essentielles :
On déduit également les formules suivantes:
$$
\cos(\pi - x)=-\cos(x)\\
\cos(\frac{\pi}{2} - x)=\sin(x)\\
\cos(\pi + x)=-\cos(x)\\
\cos(\frac{\pi}{2} + x)=-\sin(x)\\
\sin(\pi - x)=\sin(x)\\
\sin(\frac{\pi}{2} - x)=\cos(x)\\
\sin(\pi + x)=-\sin(x)\\
\sin(\frac{\pi}{2} + x)=\cos(x)\\
\tan(\pi - x)=-\tan(x)\\
\tan(\frac{\pi}{2} - x)=\frac{1}{\tan(x)}\\
\tan(\pi + x)=\tan(x)\\
\tan(\frac{\pi}{2} + x)=-\frac{1}{\tan(x)}
$$
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Le graphique ci-dessus permet par exemple de comprendre pourquoi $\sin(\frac{\pi}{2} + x)=\cos(x)$ et $\cos(\frac{\pi}{2} + x)=-\sin(x)$
Le graphique ci-dessus permet pour sa part de comprendre pourquoi $\sin(\pi + x)=-\sin(x)$ et $\cos(\pi + x)=-\cos(x)$.
Certains angles reviennent très souvent : il vaut mieux connaître leurs valeurs par cœur. Voici le tableau des valeurs exactes.
Astuce : pour le sinus, note dans l'ordre √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Pour le cosinus, c'est l'ordre inverse.
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On utilise également des formules plus poussées pour calculer les fonctions trigonométriques de sommes ou de doubles d'angles.
Formules d'addition et de soustraction :
$$
\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)
$$
$$
\cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)
$$
Formules de duplication (angle double) :
$$
\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\\ \qquad \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)=1-2\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1\\ \tan(2a) = \frac{2 \tan(a)}{1-\tan^2(a)}
$$
Formule de l'angle moitié :
$$
\sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2} \qquad \cos^2(a) = \frac{1 + \cos(2a)}{2}
$$
Par exemple, pour calculer $\cos(75°)$, on écrit $75° = 45° + 30°$ et on applique la formule d'addition.
De plus, si $a \neq \pi \quad (2\pi)$, on pose $t=\tan(\frac{a}{2})$, alors
$$
\cos(a)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \qquad \sin(a)=\frac{2t}{1+t^2} \qquad \tan(a)=\frac{2t}{1-t^2}
$$
Pour la tangente, la formule d'addition et de soustraction s'écrit ainsi :
$$
\tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a)\tan(b)}
$$
Elle sert par exemple à calculer l'angle entre deux droites de coefficients directeurs connus. Si $a = 45°$ et $b = 30°$, on remplace $\tan(45°) = 1$ et $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans la formule pour trouver $\tan(75°)$.
Les formules de Simpson (aussi appelées formules produit-somme) transforment un produit de fonctions trigonométriques en une somme, et inversement. Elles servent surtout à simplifier des calculs compliqués, notamment en physique des ondes et lors des intégrations.
$$
\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\big[\sin(a+b) + \sin(a-b)\big]\\
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\big[\cos(a+b) + \cos(a-b)\big]\\
\sin(a)\sin(b) = -\frac{1}{2}\big[\cos(a+b) - \cos(a-b)\big]\\
\sin(p)+\sin(q)=2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})\\
\sin(p)-\sin(q)=2\cos(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})\\
\cos(p)+\cos(q)=2\cos(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})\\
\cos(p)-\cos(q)=-2\sin(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})\\
$$
La linéarisation fait l'opération inverse : elle transforme des puissances (comme $\sin^2$ ou $\cos^2$) en sommes de cosinus, ce qui est très utile pour calculer des aires ou des intégrales plus simplement.
La trigonométrie n'est pas qu'une affaire de cours : elle est partout autour de nous.
Certaines erreurs reviennent très souvent chez les élèves. Voici les plus courantes et comment les éviter.
Astuce visuelle : garde en tête l'image d'un triangle avec l'angle « qui regarde » son côté opposé. Cela évite bien des confusions.
Rien ne vaut la pratique pour maîtriser la trigonométrie ! Chez Corrigeo, tu retrouves des exercices corrigés en vidéo, expliqués pas à pas, pour comprendre chaque étape du raisonnement.
Nos professeurs détaillent les calculs, montrent les pièges à éviter et te donnent des méthodes claires pour progresser à ton rythme.
Voici l'essentiel à retenir, en un coup d'œil.
Ces trois fonctions décrivent le rapport entre les côtés d'un triangle rectangle par rapport à un angle. Le sinus est le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse, le cosinus est le rapport entre le côté adjacent et l'hypoténuse, et la tangente est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent. Autrement dit, la tangente est égale au sinus divisé par le cosinus. Pour les retenir facilement, utilise le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA.
Le cercle trigonométrique permet de définir le sinus et le cosinus pour n'importe quel angle, pas seulement dans un triangle rectangle. Sur ce cercle de rayon 1, chaque angle correspond à un point dont l'abscisse est le cosinus et l'ordonnée le sinus. Il rend visibles les propriétés de périodicité (les valeurs se répètent tous les 360°) et de symétrie. C'est un outil essentiel pour comprendre les fonctions trigonométriques et résoudre des équations.
Les degrés et les radians sont deux unités pour mesurer les angles. La conversion repose sur l'égalité 180° = π radians. Pour passer des degrés aux radians, tu multiplies par π/180. Par exemple, 90° donne 90 × π/180 = π/2. Pour l'opération inverse, des radians vers les degrés, tu multiplies par 180/π. Pense toujours à vérifier le mode de ta calculatrice (DEG ou RAD) avant un calcul, car une mauvaise unité fausse tout le résultat.
Les formules SOH CAH TOA ne fonctionnent que pour les triangles rectangles, car elles utilisent l'hypoténuse et l'angle droit. Pour les triangles quelconques (sans angle droit), on utilise d'autres outils comme la loi des sinus et la loi des cosinus (aussi appelée théorème d'Al-Kashi). Ces lois généralisent la trigonométrie à tous les triangles. En revanche, les formules générales comme cos²x + sin²x = 1 ou les formules d'addition restent valables pour n'importe quel angle.
Il existe plusieurs réflexes simples. D'abord, un sinus ou un cosinus doit toujours être compris entre -1 et 1 : si tu trouves une valeur en dehors, il y a une erreur. Ensuite, vérifie que ta calculatrice est bien dans la bonne unité (degrés ou radians). Tu peux aussi contrôler ton résultat avec la formule fondamentale cos²x + sin²x = 1. Enfin, dans un triangle, assure-toi que l'hypoténuse reste le plus grand côté : cela permet de repérer vite une confusion.