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La relation de Chasles est l'un des outils les plus utiles quand on débute les vecteurs. Elle permet d'additionner facilement des vecteurs et de simplifier des calculs qui semblent compliqués au premier abord. Dans ce cours clair et illustré, tu vas comprendre la formule, l'appliquer sur des exemples et t'entraîner avec des exercices corrigés.
La relation de Chasles indique que pour trois points $A$, $B$ et $C$ quelconques du plan :
$$
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
$$
L'idée est très intuitive : c'est un enchaînement de déplacements. Si tu vas de $A$ vers $B$, puis de $B$ vers $C$, le résultat total revient exactement à aller directement de $A$ vers $C$. Peu importe le « détour » par le point $B$ : ce qui compte, c'est le point de départ et le point d'arrivée.
C'est donc une propriété géométrique : les vecteurs s'additionnent en suivant un chemin, et le point intermédiaire $B$ « disparaît » dans le résultat final.
Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement. Il possède trois caractéristiques importantes :
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme, même s'ils ne partent pas du même endroit.
On voit sur l’illustration ci-dessus que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour direction la droite (d), son sens est indiqué par la flèche, et sa norme est la longueur du segment AB.
On note un vecteur allant du point $A$ vers le point $B$ ainsi : $\overrightarrow{AB}$. La première lettre est le point de départ, la seconde le point d'arrivée.
Pour additionner des vecteurs, on utilise la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. On peut aussi soustraire des vecteurs. Par exemple, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}$. Enfin, on retiendra que $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ : inverser les lettres change le sens du vecteur.
Soient trois points $A$, $B$ et $C$. On veut simplifier l'expression $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
Grâce à la relation de Chasles, le point intermédiaire $B$ se simplifie :
$$
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
$$
Astuce : quand la lettre d'arrivée du premier vecteur est la même que la lettre de départ du second, tu peux « les coller » et ne garder que le premier départ et la dernière arrivée.
Prenons quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$, et cherchons à simplifier :
$$
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
$$
On applique Chasles étape par étape. D'abord $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, ce qui donne :
$$
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}
$$
Le résultat final est donc $\overrightarrow{AD}$. Il suffit de regrouper les termes de proche en proche : chaque point intermédiaire disparaît, on garde seulement le tout premier point et le tout dernier.
La relation de Chasles peut aussi être utilisée « en sens inverse » pour retrouver un vecteur manquant. En partant du résultat, on peut isoler le vecteur cherché.
Par exemple, à partir de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, on obtient :
$$
\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}
$$
Autre technique utile : insérer un point intermédiaire. Si on veut relier $\overrightarrow{AB}$ à un point $M$, on peut écrire :
$$
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}
$$
Cette méthode est très pratique pour faire apparaître des vecteurs connus dans un calcul et démontrer des égalités.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de te donner une formule : on t'explique chaque étape. Nos exercices corrigés en vidéo te montrent la méthode pas à pas, avec des schémas commentés, pour que tu comprennes vraiment le raisonnement et pas seulement le résultat. Tu peux mettre en pause, revenir en arrière et refaire l'exercice à ton rythme jusqu'à maîtriser la notion.
Voici l'essentiel à retenir pour réussir tes exercices :
$$
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
$$
$$
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}
$$
Le réflexe clé : quand la lettre d'arrivée d'un vecteur est la même que la lettre de départ du suivant, on les simplifie. Il reste alors le premier point de départ et le dernier point d'arrivée. On peut aussi introduire un point dans un vecteur.
La relation de Chasles sert principalement à simplifier des calculs vectoriels. Elle permet d'additionner des vecteurs, de retrouver un vecteur manquant ou de démontrer des égalités en géométrie. On l'utilise aussi pour travailler dans un repère, étudier des figures géométriques ou encore, avec les intégrales. C'est un outil de base indispensable pour manipuler les vecteurs efficacement et gagner du temps dans les exercices.
Un segment relie simplement deux points : il possède une longueur, mais ni sens, ni direction orientée. Un vecteur, lui, est un déplacement : il a une direction, un sens (matérialisé par une flèche) et une norme (sa longueur). Ainsi, le segment $[AB]$ et le segment $[BA]$ sont identiques, alors que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés car ils vont dans des sens contraires. Le vecteur contient donc plus d'informations que le segment.
Pour bien repérer les points, commence par lire attentivement l'énoncé et par faire une figure claire. Place chaque point avec sa lettre et respecte les données (milieux, alignements, parallélogrammes). Fais attention à l'ordre des lettres dans les vecteurs, car $\overrightarrow{AB}$ n'est pas $\overrightarrow{BA}$. Une figure soignée aide énormément à visualiser les enchaînements de vecteurs et à appliquer correctement la relation de Chasles sans se tromper de sens.
Oui, la relation de Chasles reste valable dans un repère. Quand chaque point a des coordonnées, on peut calculer les coordonnées d'un vecteur en soustrayant celles du point de départ à celles du point d'arrivée. La relation $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ se vérifie alors sur les coordonnées : additionner les vecteurs revient à additionner leurs coordonnées. C'est une excellente façon de contrôler ses résultats et de combiner l'approche géométrique avec l'approche calculatoire.