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La fonction inverse est une fonction de référence, tout comme la fonction carré. La maîtriser te permet d'étudier des variations, de tracer une courbe particulière (l'hyperbole) et de résoudre des équations et inéquations. Voyons ensemble comment la comprendre pas à pas.
La fonction inverse est la fonction $f$ définie par :
$$
f(x) = \dfrac{1}{x}
$$
Elle associe à chaque nombre non nul son inverse. Par exemple, l'inverse de $2$ est $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, et l'inverse de $4$ est $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$.
Attention : cette fonction n'existe pas pour $x = 0$, car on ne peut jamais diviser par zéro. Son ensemble de définition est donc l'ensemble des réels sauf 0, noté $\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[$.
La seule valeur interdite est $x = 0$. Il faut toujours l'exclure dans tes calculs.
Aux limites, la fonction a un comportement particulier : quand $x$ se rapproche de 0, la valeur de $\dfrac{1}{x}$ devient de plus en plus grande (en valeur absolue). Quand $x$ devient très grand, $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre.
⚠️ Piège fréquent : ne confonds pas « inverse » et « opposé ». L'inverse de 5 est $\dfrac{1}{5}$, alors que son opposé est $-5$.
Exemple 1 : calculer $f(5)$. On remplace : $f(5) = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$.
💡 Astuce : pour un nombre entier, l'inverse est simplement 1 divisé par ce nombre.
Exemple 2 : calculer $f(-3)$. On obtient $f(-3) = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$.
💡 Astuce : l'inverse d'un nombre négatif reste négatif.
Exemple 3 : calculer $f\left(\dfrac{2}{3}\right)$. L'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur : $f\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.
💡 Astuce : pour inverser une fraction, retourne-la (numérateur en bas, dénominateur en haut).
La fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie, mais pas sur tout $\mathbb{R}^*$.
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La courbe de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. Elle est formée de deux branches : une dans le coin en haut à droite (pour $x > 0$) et une dans le coin en bas à gauche (pour $x < 0$).
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Les axes sont des asymptotes : la courbe s'en approche sans jamais les toucher. La droite $x = 0$ (asymptote verticale) marque la zone interdite.
La fonction inverse est une fonction impaire : pour tout $x$ non nul, $f(-x) = -f(x)$. Concrètement, cela signifie que sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. Si tu connais un point de la courbe, son symétrique par rapport au point O appartient aussi à la courbe.
Pour résoudre $\dfrac{1}{x} = a$, on isole $x$. Si $a \neq 0$, alors :
$$
x = \dfrac{1}{a}
$$
Le cas $a = 0$ est particulier : l'équation $\dfrac{1}{x} = 0$ n'a aucune solution, car $\dfrac{1}{x}$ ne vaut jamais 0.
Exemple 1 : $\dfrac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$.
Exemple 2 : $\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{4} \Rightarrow x = -4$.
Pour résoudre $\dfrac{1}{x} > a$, il faut distinguer selon le signe de a et penser à la valeur interdite $x = 0$.
Le plus simple est de s'appuyer sur la courbe. Par exemple, pour $\dfrac{1}{x} > 1$, on cherche où la courbe est au-dessus de la droite $y = 1$ : la solution est $0 < x < 1$, soit $x \in \,]0\,;\,1[$.
Pour les inéquations du type $\dfrac{1}{x} < a$ ou $\dfrac{1}{x} \geq a$, applique toujours une double vérification :
La méthode la plus fiable reste de tracer la courbe et la droite $y = a$, puis de lire les intervalles où la courbe est au-dessus ou en dessous. Cela évite les erreurs de signe fréquentes quand on multiplie par $x$.
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On voit sur le graphique ci-dessus que 1/x=2 lorsque x=1/2, que 1/x>2 dans l’intervalle [0,1/2[ et que 1/x<2 pour x<0 ou x>1/2.
Chez Corrigeo, chaque exercice est corrigé en vidéo, étape par étape. Tu ne vois pas seulement la réponse : tu comprends la méthode, les pièges à éviter et le raisonnement à reproduire le jour du contrôle. Idéal pour progresser à ton rythme et t'entraîner sur des exercices variés (calculs d'inverses, encadrements, équations, inéquations et lecture graphique).
Voici l'essentiel à retenir en un coup d'œil :
La fonction inverse apparaît dès qu'une grandeur augmente pendant qu'une autre diminue de façon proportionnelle. Par exemple, si tu roules plus vite, le temps de trajet diminue : le temps est est proportionnel à l'inverse de la vitesse. On la retrouve aussi en physique (loi des gaz, résistances électriques), en cuisine (partager une quantité) ou en économie. Comprendre cette fonction t'aide donc à modéliser des situations réelles où deux quantités varient en sens contraire, ce qui est très utile bien au-delà des mathématiques.
Parce que la division par zéro est impossible en mathématiques. La fonction inverse s'écrit $\dfrac{1}{x}$ : si $x = 0$, on obtiendrait $\dfrac{1}{0}$, ce qui n'a aucun sens et n'existe pas. C'est pour cela que 0 est une valeur interdite et que l'ensemble de définition est $\mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf 0). Sur la courbe, cela se traduit par une asymptote verticale : la courbe s'approche de l'axe des ordonnées mais ne le touche jamais.
Ce sont deux notions différentes, malgré la ressemblance des mots. La fonction inverse est la fonction précise $f(x) = \dfrac{1}{x}$, une fonction de référence. La fonction réciproque est une notion plus générale : c'est la fonction qui « annule » ce qu'une autre fonction a fait, permettant de retrouver $x$ à partir de $y$. Par exemple, la racine carrée est la réciproque de la fonction carré pour les réels positifs. La fonction inverse est d'ailleurs sa propre réciproque, mais ce n'est qu'un cas particulier.
Il faut les comprendre puis les apprendre. Retiens l'idée principale : la fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle où elle existe, aussi bien pour $x < 0$ que pour $x > 0$. Si tu visualises la courbe (l'hyperbole à deux branches), tu retrouves facilement les variations sans effort de mémoire. Connaître le tableau de variation reste utile pour aller vite en contrôle, mais l'essentiel est de savoir l'expliquer et le retracer par toi-même à partir de la courbe.