Les fonctions affines

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01 Qu'est-ce qu'une fonction affine ? Définition et formule 02 Représentation graphique d'une fonction affine 03 Les propriétés essentielles de la fonction affine 04 Comment calculer le coefficient directeur (pente) ? 05 Déterminer l'équation d'une fonction affine
06 Résoudre une équation avec une fonction affine 07 Applications pratiques des fonctions affines 08 Nos exercices corrigés 09 Fiche de révision 10 FAQ

Les fonctions affines font partie des tout premiers outils que tu rencontres en mathématiques, et ce n'est pas un hasard : elles servent partout ! Dès que deux grandeurs évoluent de façon régulière (un prix qui augmente d'un montant fixe, une distance parcourue à vitesse constante, une facture d'électricité), on utilise une fonction affine. Comprendre cette notion, c'est se donner une base solide pour tout le parcours de mathématiques. Dans cet article, on va voir ensemble ce qu'est une fonction affine, comment la représenter, l'étudier, calculer sa pente, trouver son équation, résoudre des équations et l'appliquer à des situations réelles. Le tout expliqué simplement, avec des exemples, une fiche de révision et des exercices corrigés en vidéo.

01 - Qu'est-ce qu'une fonction affine ? Définition et formule

Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre $x$, associe le nombre $ax + b$. On l'écrit :

$$
f(x) = ax + b
$$

Ici, $a$ et $b$ sont deux nombres fixes appelés coefficients :

  • $a$ est le coefficient directeur (il indique la pente) ;
  • $b$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur de la fonction quand $x = 0$).

Par exemple, $f(x) = 3x + 2$ est une fonction affine avec $a = 3$ et $b = 2$.

Il existe deux cas particuliers importants :

  • Si $b = 0$, on obtient $f(x) = ax$ : c'est une fonction linéaire. Elle représente une situation de proportionnalité.
  • Si $a = 0$, on obtient $f(x) = b$ : c'est une fonction constante. Elle donne toujours le même résultat.

Ainsi, toute fonction linéaire est aussi une fonction affine (mais l'inverse n'est pas vrai).

Exemple de fonction affine:

Exemple de fonction linéaire:

Exemple de fonction constante:

02 - Représentation graphique d'une fonction affine

La grande particularité des fonctions affines, c'est que leur représentation graphique est toujours une droite. C'est très pratique : pour tracer une droite, deux points suffisent !

Méthode pour tracer la droite :

  1. Choisis deux valeurs de $x$ (par exemple $x = 0$ et $x = 2$).
  2. Calcule les images correspondantes avec $f(x) = ax + b$.
  3. Place les deux points obtenus dans un repère.
  4. Trace la droite qui passe par ces deux points.

Interprétation de $a$ et $b$ :

  • $b$ correspond au point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical). C'est le point de coordonnées $(0 ; b)$.
  • $a$ indique l'inclinaison de la droite : si $a > 0$, la droite « monte » ; si $a < 0$, elle « descend » ; si $a = 0$, elle est horizontale.

03 - Les propriétés essentielles de la fonction affine

Le sens de variation d'une fonction affine dépend uniquement du signe de $a$ :

  • Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante (elle augmente).
  • Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante (elle adiminue).
  • Si $a = 0$, a fonction est constante.

Voici le tableau de variations selon le signe de a :

Signe de a Variation de f Comportement
a > 0 croissante ↑ la droite monte
a < 0 décroissante ↓ la droite descend
a = 0 constante → droite horizontale

Étude du signe de la fonction : pour savoir quand $f(x)$ est positive ou négative, on cherche d'abord la valeur de $x$ qui annule la fonction. On résout $ax + b = 0$, ce qui donne :

$$
x = -\frac{b}{a}
$$

Avant cette valeur et après, le signe de $f(x)$ change en fonction du signe de $a$.

Tableau de signe de $f(x)=2x-4$: droite croissante qui s’annule en 2

Tableau de signe de f(x)=-3x+6: droite décroissante qui s’annule en 2

04 - Comment calculer le coefficient directeur (pente) ?

Quand on connaît deux points d'une droite, $A(x_1 ; y_1)$ et $B(x_2 ; y_2)$, on calcule le coefficient directeur avec la formule :

$$
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

Exemple pas à pas. Prenons les points $A(1 ; 3)$ et $B(4 ; 9)$.

  1. On identifie : $x_1 = 1$, $y_1 = 3$, $x_2 = 4$, $y_2 = 9$.
  2. On applique la formule : $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
  3. Le coefficient directeur vaut donc $a = 2$.

Interprétation géométrique : le coefficient directeur mesure « de combien on monte quand on avance de 1 vers la droite ». Ici, chaque fois que $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 2. C'est le rapport entre la variation verticale ($\Delta y$) et la variation horizontale ($\Delta x$).

05 - Déterminer l'équation d'une fonction affine

Il existe plusieurs situations selon les informations dont tu disposes.

Cas 1 : à partir de deux points.
On calcule d'abord $a$ avec la formule de la pente, puis on trouve $b$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point.
Exemple avec $A(1 ; 3)$ et $B(4 ; 9)$ : on a trouvé $a = 2$. On remplace dans $y = 2x + b$ avec le point $A$ : $3 = 2 \times 1 + b$, donc $b = 1$. L'équation est $f(x) = 2x + 1$.

Cas 2 : à partir d'un point et du coefficient directeur.
Si on connaît $a$ et un point, on remplace directement pour trouver $b$. Par exemple, si $a = -3$ et que la droite passe par $(2 ; 1)$ : $1 = -3 \times 2 + b$, donc $b = 7$ et $f(x) = -3x + 7$.

Cas 3 : à partir d'un graphique.
On lit l'ordonnée à l'origine $b$ (là où la droite coupe l'axe vertical), puis on lit deux points pour calculer $a$.

On voit sur le graphique ci-dessus que la droite coupe l’axe des ordonnées en 1, donc b=1. On peut ensuite utiliser le point A ou le point B en remplaçant leurs coordonnées dans l’équation pour trouver a. On peut aussi utiliser les points A et B et utiliser la formule de calcul de la pente à partir de deux points  (\Delta y / \Delta x).

06 - Résoudre une équation avec une fonction affine

Résoudre $f(x) = k$ (chercher un antécédent).
Cela revient à résoudre l'équation $ax + b = k$. On isole $x$ :

$$
x = \frac{k - b}{a}
$$

Par exemple, avec $f(x) = 2x + 1$, résoudre $f(x) = 7$ donne $2x + 1 = 7$, soit $x = 3$.

Résoudre $f(x) = 0$.
On cherche le point où la droite coupe l'axe des abscisses. Avec $f(x) = 2x + 1$ : $2x + 1 = 0$ donne $x = -\dfrac{1}{2}$.

Résoudre une inéquation ($f(x) > 0$ ou $f(x) < 0$).
On procède comme pour une équation, mais attention : si on divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité. Graphiquement, $f(x) > 0$ correspond à la partie de la droite située au-dessus de l'axe des $x$.

07 - Applications pratiques des fonctions affines

Les fonctions affines sont partout dans la vie de tous les jours ! Voici quelques exemples concrets :

  • Facture de taxi : un taxi facture souvent une prise en charge fixe plus un prix par kilomètre. Par exemple $P(x) = 1{,}2x + 4$, où $x$ est le nombre de kilomètres. Le $4$ est la prise en charge (l'ordonnée à l'origine) et $1{,}2$ le prix par km (le coefficient directeur).
  • Forfait téléphonique : un abonnement à prix fixe auquel s'ajoute un coût par minute hors forfait suit aussi une fonction affine.
  • Conversion de températures : la formule $F = 1{,}8 \times C + 32$ qui convertit les degrés Celsius en Fahrenheit est une fonction affine.
  • Vitesse et distance : à vitesse constante, la distance parcourue en fonction du temps est une fonction affine (voire linéaire si on part de 0).

Ces exemples montrent qu'une fonction affine modélise toute situation où une grandeur augmente régulièrement à partir d'une valeur de départ.

08 - Nos exercices corrigés sur les fonctions affines

Pour vraiment maîtriser les fonctions affines, rien ne vaut la pratique. Chez Corrigeo, on t'accompagne avec des exercices corrigés en vidéo, expliqués pas à pas par des professeurs. Tu peux mettre en pause, revenir en arrière et avancer à ton rythme. On y détaille chaque méthode : calcul de pente, détermination d'équation, résolution d'équations et d'inéquations, lecture graphique… De quoi transformer tes points faibles en points forts avant le prochain contrôle !

09 - Fiche de révision sur les fonctions affines

Voici l'essentiel à retenir en un coup d'œil :

Notion À retenir
Forme générale f(x) = ax + b
Coefficient directeur a (la pente)
Ordonnée à l'origine b (valeur en x = 0)
Fonction linéaire b = 0 → f(x) = ax
Fonction constante a = 0 → f(x) = b
Représentation une droite
Calcul de a a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Croissante a > 0 ↑
Décroissante a < 0 ↓
Racine (f(x) = 0) x = −b/a (si a ≠ 0)

10 - FAQ : Questions fréquentes sur les fonctions affines

Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$, tandis qu'une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ (c'est-à-dire avec $b = 0$). La fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine. Graphiquement, la droite d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère (le point $(0 ; 0)$), alors que celle d'une fonction affine coupe l'axe vertical au point $(0 ; b)$, qui n'est pas forcément l'origine. La fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité, contrairement à la fonction affine en général.

Comment reconnaître qu'une fonction est affine à partir de son tableau de valeurs ?

Une fonction est affine si les accroissements sont proportionnels : quand $x$ augmente d'une valeur constante, $f(x)$ augmente (ou diminue) toujours de la même quantité. Autrement dit, le rapport entre la variation de $y$ et la variation de $x$ reste identique sur tout le tableau. Pour le vérifier, calcule $(y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$ entre plusieurs couples de valeurs : si tu obtiens toujours le même résultat, la fonction est affine et ce résultat correspond à son coefficient directeur $a$.

Pourquoi dit-on que a est le coefficient directeur ?

On l'appelle « coefficient directeur » parce qu'il donne la direction de la droite, c'est-à-dire son inclinaison. Le nombre $a$ indique de combien la fonction augmente ou diminue lorsque $x$ augmente de 1. Si $a$ est grand, la droite monte fortement ; s'il est petit, elle monte doucement ; s'il est négatif, elle descend. C'est donc lui qui « dirige » la pente de la droite. Deux droites ayant le même coefficient directeur ont exactement la même inclinaison : elles sont parallèles.

Comment déterminer l'équation d'une droite parallèle à une fonction affine donnée ?

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur $a$. Pour trouver l'équation d'une droite parallèle à $f(x) = ax + b$, tu conserves donc la même valeur de $a$ et tu cherches uniquement la nouvelle ordonnée à l'origine $b'$. Pour cela, utilise un point par lequel passe la droite parallèle : remplace ses coordonnées dans $y = ax + b'$ et résous pour trouver $b'$. Par exemple, une droite parallèle à $f(x) = 2x + 1$ passant par $(0 ; 5)$ a pour équation $g(x) = 2x + 5$.

À quoi sert l'ordonnée à l'origine b dans une fonction affine ?

L'ordonnée à l'origine $b$ correspond à la valeur de la fonction quand $x = 0$, c'est-à-dire $f(0) = b$. Graphiquement, c'est le point où la droite coupe l'axe vertical, aux coordonnées $(0 ; b)$. Dans les situations concrètes, $b$ représente souvent une valeur de départ : le prix fixe d'un abonnement, la prise en charge d'un taxi ou la température initiale. Elle indique le « point de départ » avant que la variation liée au coefficient directeur $a$ ne s'applique. C'est donc une information essentielle pour tracer et interpréter une fonction affine.