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Parmi les notions de base des ensembles en mathématiques, il y en a une un peu surprenante : l'ensemble vide. Voyons ensemble ce que c'est, comment le noter et quelles sont ses propriétés.
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément. C'est aussi simple que ça : il est complètement vide, il n'y a rien à l'intérieur.
Pour le noter, tu peux utiliser deux écritures :
Ces deux notations veulent dire exactement la même chose. L'ensemble vide est un concept fondamental en théorie des ensembles : on s'en sert énormément dès qu'on parle d'ensembles de nombres ou de solutions d'équations.
Pour bien comprendre, imagine une boîte vide ou un sac dans lequel tu n'as rien rangé. La boîte existe bel et bien, mais elle ne contient aucun objet. L'ensemble vide, c'est pareil : l'ensemble existe, mais il ne contient rien.
Le meilleur moyen de comprendre l'ensemble vide, c'est d'en voir plusieurs exemples. Un ensemble est vide quand aucun élément ne vérifie la condition qui le définit.
Prenons l'ensemble des nombres réels solutions de l'équation $x^2 + 1 = 0$. Comme un carré est toujours positif ou nul, $x^2 + 1$ est toujours supérieur ou égal à 1 : cette équation n'a donc aucune solution réelle. L'ensemble de ses solutions est vide.
De la même façon, l'ensemble des nombres entiers relatifs strictement compris entre 2 et 3 est vide : il n'existe aucun entier relatif entre ces deux valeurs. Voici un tableau récapitulatif.
Dans chaque cas, on ne trouve aucun élément qui respecte la condition : l'ensemble est donc vide.
L'ensemble vide possède trois propriétés à connaître. Elles reviennent souvent en exercice.
Propriété 1 : l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Autrement dit, quel que soit l'ensemble $A$, on a $\emptyset \subset A$.
Propriété 2 : l'intersection de l'ensemble vide avec n'importe quel ensemble donne l'ensemble vide. En clair, si tu cherches les éléments communs à $\emptyset$ et à $A$, il n'y en a aucun : $\emptyset \cap A = \emptyset$.
Propriété 3 : l'union de l'ensemble vide avec un ensemble $A$ redonne $A$. Rassembler « rien » avec les éléments de $A$ ne change rien : $\emptyset \cup A = A$.
Pourquoi peut-on affirmer que $\emptyset \subset A$ pour tout ensemble $A$ ? Utilisons un raisonnement par l'absurde.
Dire que $\emptyset$ n'est pas inclus dans $A$ signifierait qu'il existe au moins un élément de $\emptyset$ qui n'appartient pas à $A$. Mais l'ensemble vide ne contient aucun élément ! Il est donc impossible de trouver un tel élément. L'inclusion est donc vraie « par défaut ».
Par exemple, l'ensemble vide est inclus dans l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$, dans l'ensemble $\{1 ; 2 ; 3\}$ ou dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.
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Regardons de plus près les opérations d'union et d'intersection. Prenons $A = \{1 ; 2 ; 3\}$.
Pour l'union : $A \cup \emptyset = \{1 ; 2 ; 3\}$. On ajoute « rien » aux éléments de $A$, donc on retrouve $A$. L'ensemble vide joue ici le rôle d'élément neutre, comme le fait le nombre 0 dans l'addition ($5 + 0 = 5$).
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Pour l'intersection : A \cap \emptyset = \emptyset. On cherche les éléments communs, mais \emptyset n'en a aucun : le résultat est forcément vide. C'est un peu comme la multiplication par 0 (5 \times 0 = 0).
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Pour savoir si un ensemble est vide, il faut se demander : existe-t-il au moins un élément qui vérifie la condition donnée ? Si la réponse est non, l'ensemble est vide. Voici une démarche claire.
Par exemple, pour l'inéquation $x^2 < 0$ : un carré n'est jamais négatif, donc aucun réel ne convient. L'ensemble des solutions est vide. Pense toujours à bien analyser la condition : certaines contraintes sont impossibles (deux conditions contradictoires, équation sans solution, valeur absolue négative…).
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Rien de mieux que de s'entraîner pour maîtriser cette notion ! Sur Corrigeo, tu trouves des exercices corrigés en vidéo sur l'ensemble vide. Chaque correction est expliquée pas à pas par un professeur : tu comprends non seulement la réponse, mais surtout le raisonnement pour l'obtenir.
Tu peux mettre la vidéo en pause, revenir en arrière et refaire l'exercice à ton rythme. C'est un vrai plus pour progresser en autonomie et arriver serein en contrôle.
Voici l'essentiel à retenir sur l'ensemble vide.
$\emptyset$ est l'ensemble vide : il ne contient aucun élément. En revanche, $\{\emptyset\}$ est un ensemble qui contient un élément, et cet élément est justement l'ensemble vide. Il n'est donc pas vide ! Une bonne image : $\emptyset$ est comme une boîte vide, tandis que $\{\emptyset\}$ est une boîte qui contient une petite boîte vide. La grande boîte contient bien quelque chose (la petite boîte). On a donc card(∅) = 0 mais card({∅}) = 1.
Dire que $\emptyset$ n'est pas inclus dans $A$ reviendrait à trouver au moins un élément de $\emptyset$ qui n'appartient pas à $A$. Or l'ensemble vide ne contient aucun élément : il est donc impossible de trouver un tel élément. Comme on ne peut pas prouver que l'inclusion est fausse, on considère qu'elle est vraie par défaut. C'est un raisonnement par l'absurde : puisqu'il n'y a rien à vérifier, la condition d'inclusion est toujours respectée, quel que soit l'ensemble $A$.
Il faut chercher s'il existe au moins un élément qui satisfait la condition. Résous l'équation ou l'inéquation qui définit l'ensemble. Si tu trouves une solution, l'ensemble n'est pas vide. Si aucun élément ne convient, alors l'ensemble est vide. Par exemple, l'ensemble des réels tels que $x^2 = -4$ est vide, car un carré n'est jamais négatif. De même, aucun réel ne vérifie $x + 1 = x + 2$ : cet ensemble est vide.
Oui ! Le cardinal d'un ensemble, c'est le nombre d'éléments qu'il contient. Comme l'ensemble vide ne contient aucun élément, son cardinal vaut 0. On l'écrit $\text{card}(\emptyset) = 0$. C'est logique : si tu comptes le nombre d'objets dans une boîte vide, tu obtiens 0. L'ensemble vide est d'ailleurs le seul ensemble dont le cardinal est nul, ce qui en fait un cas bien particulier et très utile en mathématiques.
Oui, mais seulement dans un cas précis : si les deux ensembles sont eux-mêmes vides. On a alors $\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$. En effet, l'union rassemble tous les éléments des deux ensembles. Si l'un des deux contient au moins un élément, cet élément se retrouve dans l'union, qui n'est donc plus vide. Par exemple, $\{1\} \cup \emptyset = \{1\}$ n'est pas vide. Conclusion : une union est vide uniquement quand les deux ensembles de départ le sont.