Tableau de signes

Le tableau de signes est un outil essentiel en mathématiques. Il permet de savoir quand une expression est positive, négative ou nulle, sans forcément faire de calculs compliqués. Grâce à lui, tu peux résoudre des inéquations, étudier le comportement d'une fonction ou encore préparer une étude de variations. Dans ce cours, tu vas apprendre pas à pas à dresser un tableau de signes : d'abord pour une fonction affine, puis pour un produit, un quotient, et enfin pour résoudre des inéquations. On terminera par les pièges à éviter, une fiche de révision et une FAQ.

01 - Qu'est-ce qu'un tableau de signes ?

Un tableau de signes est un tableau à double entrée qui indique le signe d'une expression algébrique selon les valeurs de $x$. Autrement dit, il te montre pour quelles valeurs l'expression est positive (+), négative (−) ou nulle (0).

Sa structure est toujours la même :

• La première ligne (ligne des $x$) contient les valeurs importantes rangées de la plus petite à la plus grande, avec $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite.
• La deuxième ligne (ligne des signes) indique le signe de l'expression sur chaque intervalle, avec un 0 là où l'expression s'annule.

L’exemple ci-dessus montre le tableau de signe de la fonction F(x)=x(3-x). La première ligne donne les valeurs possibles de x, et celles pour lesquelles la fonction F s’annule. Les deuxième et troisième ligne donne les signes des facteurs de F, x et 3-x, ainsi que les valeurs pour lesquelles ces facteurs s’annulent (ils sont matérialisés par des 0). Enfin, la troisième ligne donne le signe de F et les valeurs pour lesquelles F s’annule.

02 - Comment dresser un tableau de signes pour une fonction affine (ax+b) ?

La fonction affine est le cas de base à maîtriser absolument, car tous les autres tableaux (produits, quotients) reposent dessus. On va d'abord faire quelques rappels, puis voir la méthode.

Rappels sur les fonctions affines

Une fonction affine est une fonction de la forme :

Sa représentation graphique est une droite. Le nombre $a$ s'appelle le coefficient directeur. Il détermine le sens de variation :

• si $a > 0$, la fonction est croissante (la droite « monte ») ;
• si $a < 0$, la fonction est décroissante (la droite « descend »).

b est appelé l’ordonnée à l’origine car elle correspond à la valeur de f pour x=0.

Méthode pour construire le tableau de signes d'une fonction affine

Voici les étapes à suivre :

1. Résoudre $ax + b = 0$ pour trouver la valeur qui annule l'expression. On obtient $x = -\dfrac{b}{a}$ (mais il vaut mieux résoudre directement l'équation).
2. Placer cette valeur sur la ligne des $x$, et mettre un 0 en dessous.
3. Placer les signes dans l'ordre :
   • si $a > 0$ : on écrit − 0 +
   • si $a < 0$ : on écrit + 0 −

Astuce mnémotechnique : quand $a > 0$, l'expression est négative avant la racine puis positive après.

Exemple 1 avec $f(x) = 2x - 4$ (ici $a = 2 > 0$). On résout $2x - 4 = 0$, donc $x = 2$. 2x-4>0 si et seulement si x>2.

Exemple 2 avec g(x) = -3x + 6 (ici a = -3 < 0). On résout -3x + 6 = 0, donc x = 2. -3x+6>0 si et seulement si x<2 (attention à bien changer le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif).

03 - Tableau de signes d'un produit de facteurs

Souvent, une expression se présente sous forme d'un produit factorisé, par exemple $(2x-4)(5-x)$. L'énorme avantage : on peut étudier chaque facteur séparément, puis combiner les résultats grâce à la règle des signes. Surtout, on ne développe jamais !

Principe général et règle des signes

La règle des signes de la multiplication est la suivante :

• (+) × (+) = +
• (−) × (−) = +
• (+) × (−) = −
• (−) × (+) = −

En résumé : deux signes identiques donnent un +, deux signes différents donnent un −. C'est pourquoi il faut toujours factoriser l'expression et jamais la développer : un produit factorisé est bien plus facile à étudier.

Méthode pas à pas pour un produit de facteurs du premier degré

1. Chercher chaque racine (la valeur qui annule chaque facteur).
2. Construire le tableau avec une ligne par facteur, plus une ligne pour le produit.
3. Remplir le signe de chaque facteur (comme pour une fonction affine).
4. Appliquer la règle des signes colonne par colonne pour obtenir le signe du produit.

Exemple : $E(x) = (2x-4)(5-x)$.

• $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (ici $a > 0$ : − 0 +)
• $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$ (ici $a < 0$ : + 0 −)

04 - Tableau de signes d'un quotient

Le quotient (une division) ajoute une difficulté importante : on ne peut jamais diviser par zéro. Il faut donc repérer les valeurs interdites avant de construire le tableau.

Ensemble de définition d'un quotient

La condition fondamentale est : le dénominateur doit être différent de 0. Pour trouver les valeurs interdites, on résout l'équation obtenue en posant le dénominateur égal à 0.

Par exemple pour $\dfrac{3x+6}{x-2}$, on résout $x - 2 = 0$, donc $x = 2$ est une valeur interdite. Dans le tableau, on la note avec une double barre verticale ‖ (et non un 0), pour montrer que l'expression n'existe pas en ce point.

Méthode pour le tableau de signes d'un quotient

1. Déterminer l'ensemble de définition (repérer les valeurs interdites).
2. Construire le tableau avec une ligne numérateur, une ligne dénominateur et une ligne quotient.
3. Appliquer la règle des signes (identique à celle de la multiplication).
4. Placer une double barre ‖ aux valeurs interdites sur la ligne du dénominateur et du quotient.

Exemple : $Q(x) = \dfrac{3x+6}{x-2}$.

• $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (valeur interdite)

05 - Utilisation du tableau de signes pour résoudre des inéquations

Le tableau de signes est l'outil idéal pour résoudre une inéquation. Voici la démarche complète :

1. Tout ramener à gauche pour obtenir une comparaison à 0 (par exemple $\geq 0$ ou $\leq 0$).
2. Factoriser l'expression obtenue.
3. Dresser le tableau de signes.
4. Lire les solutions selon le symbole de l'inéquation.

Exemple : résoudre $(2x-4)(5-x) \geq 0$.

D'après le tableau vu plus haut, le produit est positif ou nul entre 2 et 5. On lit donc la solution :

$$
S = [2 \, ; \, 5]
$$

Attention aux crochets : si l'inéquation est stricte ($>$), on exclut les racines (crochets ouverts) ; si elle est large ($\geq$), on les inclut (crochets fermés). Pour un quotient, les valeurs interdites sont toujours exclues.

06 - Cas particuliers et pièges à éviter

Certaines situations demandent une attention particulière :

• Facteur au carré : $(x-3)^2$ est toujours positif, et nul uniquement en $x = 3$. Sa ligne dans le tableau ne contient que des + avec un 0 en 3.
• Facteur au cube : $(x-3)^3$ conserve le signe de $x-3$ (− avant 3, 0 en 3, + après).
• Racine multiple : quand deux facteurs s'annulent au même point, il faut bien regrouper les colonnes.

Erreurs fréquentes à éviter :

• oublier les valeurs interdites dans un quotient ;
• inverser les signes (bien vérifier le signe du coefficient directeur) ;
• développer au lieu de factoriser (ça rend le travail impossible).

07 - Nos exercices corrigés sur le tableau des signes

Chez Corrigeo, on ne se contente pas d'expliquer la théorie : on t'accompagne avec des exercices corrigés en vidéo, pensés pour les élèves. Tu y retrouveras des corrections détaillées, expliquées pas à pas, pour comprendre chaque étape et progresser à ton rythme. Que tu bloques sur un produit, un quotient ou une inéquation, nos vidéos t'aident à visualiser la méthode et à éviter les erreurs classiques.

08 - Fiche de révision sur le PGCD et le PPCM

Voici l'essentiel à retenir :

À ne jamais oublier : on factorise, on ne développe pas, et on note les valeurs interdites avec une double barre ‖.

09 - FAQ : Questions fréquentes sur le tableau des signes

Comment savoir si une fonction affine est positive ou négative ?

Il faut d'abord résoudre l'équation $ax + b = 0$ pour trouver la racine, c'est-à-dire la valeur de $x$ qui annule la fonction. Ensuite, on regarde le signe du coefficient directeur $a$. Si $a > 0$, la fonction est négative avant la racine et positive après. Si $a < 0$, c'est l'inverse : positive avant, négative après. Le graphique aide aussi : la fonction est positive quand la droite est au-dessus de l'axe des abscisses.

Pourquoi ne faut-il pas développer un produit avant de faire le tableau de signes ?

Parce qu'un produit factorisé est bien plus facile à étudier ! Grâce à la règle des signes, tu peux analyser chaque facteur séparément, puis combiner les résultats. Si tu développes, tu obtiens une expression du second degré (ou plus) beaucoup plus compliquée, et tu perds l'information des racines. Le but est donc toujours de garder la forme factorisée, voire de factoriser une expression développée avant de commencer. Retiens la règle : on factorise, on ne développe jamais.

Quelle est la différence entre 0 et une double barre dans un tableau de signes ?

Le 0 signifie que l'expression s'annule en cette valeur : elle existe, mais elle vaut exactement zéro. La double barre ‖ signifie au contraire que l'expression n'existe pas en ce point : c'est une valeur interdite, généralement parce qu'elle annulerait le dénominateur d'un quotient (division par zéro impossible). Cette valeur est donc exclue de l'ensemble de définition, et jamais incluse dans les solutions d'une inéquation, même large.

Comment gérer un facteur au carré dans un tableau de signes ?

Un facteur au carré, comme $(x-3)^2$, est toujours positif ou nul, car un carré ne peut jamais être négatif. Dans le tableau, sa ligne ne contient donc que des signes +, avec un 0 uniquement à la valeur qui l'annule (ici $x = 3$). Cela simplifie souvent l'étude : ce facteur n'influence pas le signe global du produit, sauf en cette racine où l'expression complète s'annule. Attention à ne pas confondre avec un facteur au cube, qui lui conserve le signe du facteur simple.