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Les nombres premiers sont les briques de base de toutes les mathématiques. Tu en as sûrement déjà croisé : 2, 3, 5, 7… Mais sais-tu vraiment ce qui les rend spéciaux ? Dans ce cours simple, tu vas apprendre à les reconnaître, à les lister jusqu’à 100 et à comprendre pourquoi ils sont si importants.
Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui-même. Autrement dit, il ne peut pas être divisé de manière exacte par un autre nombre que ces deux-là.
Par exemple, 7 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 7. En revanche, 6 n’est pas premier : on peut le diviser par 1, 2, 3 et 6. Comme il a plus de deux diviseurs, il est dit « composé ».
📌 À retenir : ni 0 ni 1 ne sont des nombres premiers. Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même) et 0 en a une infinité. Pour être premier, il faut exactement deux diviseurs distincts.
Il existe 25 nombres premiers entre 1 et 100. Les voici :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Rappelons le critère de base : un nombre premier doit être divisible uniquement par 1 et par lui-même, ce qui fait exactement deux diviseurs.
Le nombre 1 ne remplit pas cette condition : son seul diviseur est 1. Il n’a donc qu’un seul diviseur, pas deux. Quant à 0, il peut être divisé par tous les entiers non nuls, ce qui lui donne une infinité de diviseurs. Ces deux nombres sont donc exclus par convention et par logique mathématique.
Voici une info surprenante : 2 est le seul nombre premier pair. Pourquoi ? Parce que tous les autres nombres pairs (4, 6, 8, 10…) sont divisibles par 2, en plus de 1 et d’eux-mêmes. Ils ont donc au moins trois diviseurs et ne peuvent pas être premiers. Le nombre 2, lui, n’a que 1 et 2 comme diviseurs : c’est bien un nombre premier, et le seul pair de toute la liste.
La méthode la plus simple consiste à tester si le nombre est divisible par les entiers plus petits que lui. Astuce importante : il suffit de tester les diviseurs jusqu’à la racine carrée du nombre.
Testons 37 :
Aucun diviseur trouvé : 37 est un nombre premier.
Le crible d’Ératosthène est une méthode maligne pour trouver tous les nombres premiers d’un coup. Le principe :
À la fin, les nombres non barrés sont les nombres premiers !
Pour de très grands nombres, tester tous les diviseurs devient trop long, même pour un ordinateur. Les mathématiciens et informaticiens utilisent alors des algorithmes plus complexes, comme le test de primalité de Miller-Rabin ou le test AKS.
Les nombres premiers ne sont pas qu’une curiosité de cours. Ils jouent un rôle central :
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de t’expliquer la théorie. Nos exercices corrigés sont expliqués en vidéo, étape par étape, avec une vraie pédagogie. Tu peux mettre en pause, revenir en arrière et refaire l’exercice à ton rythme. Idéal pour bien comprendre la méthode plutôt que d’apprendre par cœur, et pour progresser en toute confiance avant un contrôle.
Voici l’essentiel à retenir, résumé dans un tableau mémo :
Non, 0 n’est pas un nombre premier. Pour être premier, un nombre doit avoir exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Or, 0 peut être divisé par tous les entiers non nuls (par 1, 2, 3, 4…) : il possède donc une infinité de diviseurs. Cela ne correspond pas du tout à la définition d’un nombre premier. Par convention et par logique mathématique, 0 est donc exclu de la liste des nombres premiers.
Le nombre 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur : lui-même. Or, la définition exige exactement deux diviseurs distincts (1 et le nombre considéré). Comme pour 1 ces deux diviseurs sont confondus, il n’en reste qu’un seul. De plus, exclure 1 permet de garder une propriété essentielle : chaque nombre se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers. Si 1 était premier, cette unicité serait perdue.
Le seul nombre premier pair est 2. Tous les autres nombres pairs (4, 6, 8, 10, 12…) sont divisibles par 2 en plus de 1 et d’eux-mêmes : ils ont donc au moins trois diviseurs et ne peuvent pas être premiers. Le nombre 2, lui, n’a que deux diviseurs : 1 et 2. Il respecte parfaitement la définition et reste une véritable exception, puisque tous les autres nombres premiers sont impairs.
Les nombres premiers sont en nombre infini : il n’existe pas de « plus grand nombre premier ». Ce résultat a été démontré par le mathématicien grec Euclide il y a plus de 2 000 ans. Cela signifie que peu importe la taille du nombre premier que tu connais, il en existera toujours un plus grand. Aujourd’hui, des ordinateurs recherchent des nombres premiers gigantesques comportant des millions de chiffres, mais on n’atteindra jamais le dernier.
Les nombres premiers sont fondamentaux car ils servent à construire tous les autres nombres. Tout entier se décompose de façon unique en un produit de facteurs premiers : ce sont les « briques de base » de l’arithmétique. Ils sont aussi essentiels en cryptographie, pour sécuriser les échanges sur Internet, et intriguent les chercheurs par leur répartition mystérieuse. Comprendre les nombres premiers, c’est comprendre une partie du cœur même des mathématiques.