Clique sur un chapitre pour accéder aux vidéos et exercices corrigés
Comment exprimer une température de -5 °C un matin d’hiver ? Comment noter une dette ou l’altitude d’un plongeur sous la mer ? Dans tous ces cas, tu utilises des nombres entiers. Ce sont les premiers nombres que l’on apprend, mais aussi la base de toutes les mathématiques. Bien les comprendre te permet de progresser vers des notions plus avancées. Voyons ensemble ce qu’ils sont vraiment.
Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans virgule, donc sans partie décimale. En clair, il est « rond ». Les nombres entiers regroupent :
Par exemple, 7, -42 et 0 sont des nombres entiers. En revanche, 3,5 ou 2/3 n’en sont pas, car ils contiennent une partie décimale ou fractionnaire.
Les nombres entiers font partie d’un ensemble beaucoup plus grand : les nombres réels. On dit que les entiers sont un sous-ensemble des réels. Un nombre réel peut, lui, contenir une partie décimale.
Comparons :
Ainsi, tous les entiers sont des réels, mais tous les réels ne sont pas des entiers.
Les nombres entiers se répartissent de façon symétrique autour du zéro. À droite du zéro, on trouve les positifs ; à gauche, les négatifs. Chaque nombre positif a son « opposé » négatif à la même distance du zéro (par exemple 4 et -4).
Dans la vie courante :
Il existe deux ensembles importants à distinguer :
$$
\mathbb{Z} = \{\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\}
$$
Tout entier naturel est aussi un entier relatif : on écrit ℕ ⊂ ℤ.
Deux nombres entiers sont consécutifs lorsqu’ils se suivent directement, c’est-à-dire qu’ils diffèrent de 1. Par exemple, 4, 5 et 6 sont trois entiers consécutifs. De même, -1, 0 et 1 se suivent. Pour passer d’un entier au suivant, il suffit d’ajouter 1.
La clôture signifie qu’en additionnant ou en multipliant deux entiers, on obtient toujours un entier. Le résultat ne « sort » jamais de l’ensemble.
Exemple : $7 + 4 = 11$ (entier) et $6 \times 3 = 18$ (entier).
L’associativité permet de changer le regroupement (les parenthèses) sans changer le résultat.
$$
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9
$$
Que l’on additionne d’abord 3 et 4, ou d’abord 2 et 3, le total reste le même.
La commutativité signifie que l’ordre des nombres n’affecte pas le résultat d’une addition ou d’une multiplication.
$$
3 + 5 = 5 + 3 = 8
$$
La distributivité montre comment multiplier une somme : on multiplie chaque terme, puis on additionne.
$$
a \times (b + c) = a \times b + a \times c
$$
Exemple : $4 \times (2 + 3) = 4 \times 2 + 4 \times 3 = 8 + 12 = 20$.
Certains nombres sont appelés éléments neutres :
Ajouter 0 ou multiplier par 1 ne change jamais le nombre de départ.
Les nombres entiers sont partout autour de toi :
Sans les entiers, impossible de compter, comparer ou organiser le quotidien.
Un nombre rationnel peut s’écrire sous forme de fraction de deux entiers, comme $\frac{1}{2}$ ou $\frac{7}{4}$. Sa forme décimale s’arrête ou se répète.
Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie et non périodique : impossible de l’écrire en fraction exacte. C’est le cas de $\sqrt{2}$ ou de $\pi$.
Les nombres réels regroupent tous les nombres que l’on peut placer sur une droite graduée : entiers, rationnels et irrationnels. C’est l’ensemble que tu utilises le plus au lycée.
Les nombres complexes vont plus loin : ils ajoutent une partie dite « imaginaire ». On les représente non plus sur une droite, mais dans un plan à deux axes (un axe réel horizontal et un axe imaginaire vertical). Tu les découvriras surtout dans les études supérieures.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de la théorie. Nos exercices corrigés en vidéo te montrent, étape par étape, comment appliquer le cours : reconnaître un entier, comparer et ranger des nombres, additionner des relatifs ou repérer des entiers consécutifs. Chaque correction est expliquée avec pédagogie, comme si un professeur était à côté de toi, pour que tu comprennes ta démarche et évites les erreurs classiques.
Voici l’essentiel à retenir en un coup d’œil :
Cela dépend de l’ensemble considéré. Dans les entiers naturels (ℕ), le plus petit est 0, car on ne compte pas en dessous. Mais dans les entiers relatifs (ℤ), il n’existe aucun plus petit nombre : on peut toujours descendre plus bas (-100, -1 000, -1 000 000…). L’ensemble ℤ est infini dans les deux sens. Il n’y a donc pas de « plus petit entier » absolu, sauf si l’on se limite aux naturels, où c’est le zéro.
Le zéro est un nombre entier car il s’écrit sans partie décimale : il est « rond », exactement comme 1 ou 5. Sur la droite numérique, il occupe une place centrale, pile au milieu entre les positifs et les négatifs. Il n’est ni positif ni négatif, mais il appartient bien à l’ensemble des entiers naturels (ℕ) et à celui des entiers relatifs (ℤ). C’est aussi l’élément neutre de l’addition : ajouter 0 ne change rien.
Les nombres entiers servent chaque jour, souvent sans qu’on y pense. On les utilise pour compter (élèves, objets, euros), pour lire une température (20 °C ou -5 °C), pour indiquer une altitude ou une profondeur, pour suivre un score dans un jeu ou un match, ou encore pour gérer un budget avec un solde positif ou une dette négative. En informatique, ils permettent aussi de numéroter et d’organiser des données. Bref, ils sont la base pour mesurer et comparer.