Clique sur un chapitre pour accéder aux vidéos et exercices corrigés
La fonction racine carrée fait partie des fonctions de référence. Elle t'aide à mieux comprendre comment fonctionne une fonction numérique : son domaine, sa courbe et ses variations. C'est une base solide pour toute la suite en mathématiques.
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout nombre réel positif $x$, associe sa racine carrée notée $\sqrt{x}$. On l'écrit :
$$
f(x) = \sqrt{x}
$$
Le nombre $\sqrt{x}$ est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Autrement dit, $(\sqrt{x})^2 = x$.
Cette fonction n'existe que si $x \geq 0$ : on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Son domaine de définition est donc l'intervalle $[0 \ ; +\infty[$.
Quelques exemples simples :
Pour tracer la courbe de $f(x) = \sqrt{x}$, on suit trois étapes simples.
1. On choisit des valeurs de $x$ (des valeurs positives, souvent des carrés parfaits pour simplifier les calculs).
2. On calcule $f(x)$ pour chaque valeur :
3. On place les points dans un repère orthonormé, puis on relie les points par une courbe régulière.
La courbe obtenue ressemble à une demi-parabole couchée : elle part de l'origine $O(0 \ ; 0)$, monte rapidement au début, puis de plus en plus doucement. Elle reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses et n'existe que pour $x \geq 0$.
.png)
Le PGCD n'est pas juste une notion abstraite : il sert dans beaucoup de situations concrètes en mathématiques.
Maîtriser cette notion te fait donc gagner du temps et évite les erreurs dans de nombreux exercices.
La fonction racine carrée possède trois propriétés essentielles :
Voici son tableau de variations :
On peut justifier ce sens de variation aussi très simplement. Pour deux réels positifs $a > b$ :
$$
f(a) - f(b) = \sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}
$$
Le numérateur $a - b$ est positif (car $a > b$) et le dénominateur aussi. Donc $f(a) - f(b) > 0$ : la fonction est bien strictement croissante. C'est un bel exemple du lien entre l'algèbre et le graphique. Sa dérivée seconde étant négative, la fonction racine carrée est concave.
On peut modifier la courbe de base grâce à des expressions du type $f(x) = a\sqrt{x} + c$. Chaque paramètre agit différemment :
Exemple 1 : $g(x) = 2\sqrt{x}$ donne une courbe deux fois plus « haute » que celle de $\sqrt{x}$. Ainsi, $g(4) = 2\sqrt{4} = 4$.
Exemple 2 : $h(x) = \sqrt{x} + 3$ correspond à la courbe de base décalée de 3 unités vers le haut. Par exemple, $h(0) = \sqrt{0} + 3 = 3$.
Pour résoudre une équation contenant une racine carrée, comme $\sqrt{x} = k$, la méthode consiste à élever les deux membres au carré. Comme $(\sqrt{x})^2 = x$, on obtient directement la valeur de $x$. Attention : il faut toujours vérifier la solution à la fin, car élever au carré peut créer de fausses solutions.
Prenons $\sqrt{x} = 5$. On élève au carré les deux côtés :
$$
(\sqrt{x})^2 = 5^2 \quad \Rightarrow \quad x = 25
$$
Vérification : $\sqrt{25} = 5$. La solution $x = 25$ est correcte.
Restriction importante : cette méthode ne fonctionne que si $k \geq 0$. Si $k < 0$ (par exemple $\sqrt{x} = -3$), l'équation n'a pas de solution, car une racine carrée est toujours positive.
Résolvons $\sqrt{x} < 2$ (avec $k = 2 > 0$). Comme la fonction racine carrée est croissante et toujours positive, on peut élever au carré sans changer le sens de l'inéquation :
$$
\sqrt{x} < 2 \quad \Rightarrow \quad x < 4
$$
Sans oublier la condition d'existence $x \geq 0$. La solution est donc l'intervalle $[0 \ ; 4[$.
Interprétation graphique : sur le repère, cela correspond aux points de la courbe qui se situent en dessous de la droite horizontale $y = 2$. On lit les valeurs de $x$ concernées entre 0 et 4.
.png)
La racine carrée n'est pas qu'une notion abstraite : on la retrouve partout.
Ces exemples montrent que comprendre cette fonction aide à résoudre des problèmes réels.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de te donner la réponse : nos exercices corrigés sont expliqués en vidéo, étape par étape. Tu vois le raisonnement complet, les pièges à éviter et les astuces de rédaction. Cette pédagogie visuelle t'aide à progresser bien plus vite qu'un simple corrigé écrit, en s'entraînant à ton rythme.
Voici l'essentiel à retenir avant un contrôle :
Le carré d'un nombre consiste à le multiplier par lui-même : $x^2$. La racine carrée fait l'opération inverse : elle cherche le nombre positif dont le carré donne $x$, noté $\sqrt{x}$. Par exemple, le carré de 3 est 9, et la racine carrée de 9 est 3. Ces deux fonctions sont donc réciproques l'une de l'autre sur les nombres positifs. Attention : la fonction carré existe pour tous les réels, alors que la racine carrée n'existe que pour $x \geq 0$.
Pour une équation du type $\sqrt{x} = k$, il faut d'abord regarder le signe de $k$. Comme une racine carrée est toujours positive ou nulle, l'équation n'a de solution que si $k \geq 0$. Dans ce cas, la solution est $x = k^2$. Si $k$ est négatif, il n'existe aucune solution. Pense aussi à vérifier que la valeur trouvée respecte bien la condition d'existence $x \geq 0$. Cette vérification évite les erreurs classiques.
La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré redonne ce nombre. Or, le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Il est donc impossible de trouver un nombre réel dont le carré serait négatif. Par conséquent, on ne peut pas calculer $\sqrt{x}$ quand $x$ est négatif. C'est pour cette raison que le domaine de définition de la fonction racine carrée est l'intervalle $[0 \ ; +\infty[$, c'est-à-dire tous les réels positifs ou nuls.
Élever au carré peut parfois créer de fausses solutions. Pour vérifier, il suffit de remplacer la valeur trouvée dans l'équation de départ et de vérifier que l'égalité est vraie. Par exemple, pour $\sqrt{x} = 5$, on a trouvé $x = 25$. On remplace : $\sqrt{25} = 5$, ce qui est exact, donc la solution est valide. Si en remplaçant tu obtiens une égalité fausse ou une racine d'un nombre négatif, alors la valeur doit être rejetée.
Oui. Par définition, $\sqrt{x}$ désigne le nombre positif dont le carré vaut $x$. La fonction racine carrée renvoie donc toujours un résultat positif ou nul : $\sqrt{x} \geq 0$. Par exemple, $\sqrt{16} = 4$ et jamais $-4$, même si $(-4)^2 = 16$ aussi. Il ne faut pas confondre avec la résolution de l'équation $x^2 = 16$, qui admet deux solutions $4$ et $-4$. La fonction racine carrée, elle, ne donne toujours qu'une seule valeur positive.