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Le développement et la factorisation sont deux outils essentiels du calcul littéral. Bien les maîtriser te servira pour toutes les années.
Avant de commencer, retiens une idée simple : développer transforme un produit en somme, tandis que factoriser transforme une somme en produit. Ce sont deux opérations inverses l'une de l'autre.
Tout repose sur une règle appelée la distributivité. Elle existe sous deux formes.
La distributivité simple :
$$
a(b+c) = ab + ac
$$
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La double distributivité :
$$
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
$$
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Ces deux formules te permettront de développer presque toutes les expressions rencontrées. Prenons un exemple détaillé avec la distributivité simple : pour $3(x+2)$, on multiplie $3$ par $x$ puis $3$ par $2$, ce qui donne $3x + 6$.
La règle $a(b+c) = ab+ac$ signifie que le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme situé à l'intérieur.
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Voici des exemples de plus en plus complexes.
Exemple 1 (avec des nombres) : $5(4+3) = 5 \times 4 + 5 \times 3 = 20 + 15 = 35$.
Exemple 2 (avec une lettre) : $4(x+7) = 4x+4 \times7=4x + 28$.
Exemple 3 (avec un signe négatif) : $-2(3x-4) = -6x + 8$. Attention au signe : $-2 \times (-4) = +8$.
Exemple 4 (plus complexe) : $x(2x-5) = 2x^2 - 5x$.
L'erreur la plus courante est d'oublier de multiplier le deuxième terme, ou de se tromper de signe. Vérifie toujours que chaque terme de la parenthèse a bien été multiplié.
Quand on multiplie deux parenthèses entre elles, on applique la règle $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$. On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
Astuce mnémotechnique : pense au mot « chaque avec chaque » ou dessine des flèches reliant les termes deux à deux. Il y a toujours 4 produits à écrire.
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Exemple 1 : $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Exemple 2 : $(2x-1)(x+4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$.
Exemple 3 : $(3x-2)(2x-5) = 6x^2 - 15x - 4x + 10 = 6x^2 - 19x + 10$.
Les identités remarquables sont des formules « toutes prêtes » qui font gagner du temps. Il en existe trois à connaître par cœur :
$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
$$
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
$$
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
$$
Elles se lisent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser. Savoir les reconnaître dans les deux sens est la clé.
On démontre cette identité par simple développement : $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Exemples numériques : $(3+2)^2 = 9 + 12 + 4 = 25$, ce qui correspond bien à $5^2$. De même $(10+1)^2 = 100 + 20 + 1 = 121$.
Exemples avec des lettres : $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$ et $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Cette formule permet de calculer vite un carré : $21^2 = (20+1)^2 = 400 + 40 + 1 = 441$.
On peut également démontrer cette identité remarquable de manière géométrique:
Ce carré de côté a+b, d’aire (a+b)², se décompose en un carré de côté a (d’aire a²), un carré de côté b (d’aire b²) et deux rectangles de dimension (a,b) (d’aire ab chacun). L’aire du carré de côté a+b, (a+b)², vaut donc la somme des aires qui la composent, a²+2ab+b².
Ici, le terme du milieu devient négatif : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. On le démontre par $(a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2=a^2 - 2ab + b^2$.
Exemples : $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ et $(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Attention à l'erreur fréquente : $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$. Il ne faut jamais oublier le terme $-2ab$. Un exemple numérique le prouve : $(5-2)^2 = 3^2 = 9$, alors que $5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$. Les deux résultats sont différents.
Cette identité est très utile pour factoriser :
$$
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
$$
Dès que tu vois une soustraction entre deux carrés, tu peux la factoriser. Exemples : $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ et $4x^2 - 25 = (2x+5)(2x-5)$.
Il faut parfois « voir » les carrés cachés. Dans $x^2 - 16$, on reconnaît $x^2 - 4^2$. Dans $9x^2 - 1$, on reconnaît $(3x)^2 - 1^2$.
Pour développer sans erreur, suis une démarche claire :
Exemple progressif : $3(x+2) + (x-1)(x+4) = 3x + 6 + x^2 + 4x -x - 4 = x^2 + 6x + 2$.
Pour factoriser, on cherche d'abord un facteur commun à tous les termes. La méthode : identifier ce facteur, le mettre en évidence devant une parenthèse, puis écrire ce qui reste.
Exemple avec des nombres : $12 + 18 = 6 \times 2 + 6 \times 3 = 6(2+3)$.
Exemples avec des variables : $4x + 8 = 4(x+2)$ et $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$.
Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou les deux à la fois.
Pour factoriser grâce aux identités, il faut savoir reconnaître leur forme. Cherche :
Si tu vois $a^2 + 2ab + b^2$, c'est $(a+b)^2$. Si tu vois $a^2 - 2ab + b^2$, c'est $(a-b)^2$. Si tu vois $a^2 - b^2$, c'est $(a+b)(a-b)$.
Le plus important est de bien identifier a et b. Dans $x^2 + 6x + 9$, on a $a = x$ et $b = 3$, donc c'est $(x+3)^2$.
Factoriser demande de « voir » les structures cachées. Voici une méthode systématique à appliquer dans l'ordre :
Exemple facteur commun : $5x^2 + 15x = 5x(x + 3)$.
Exemple identité : $x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$.
Exemple groupement : $x^2 + 3x + 2x + 6 = x(x+3) + 2(x+3) = (x+3)(x+2)$.
Parfois, il faut combiner les méthodes : $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$.
Rien ne remplace la pratique. Sur Corrigeo, tu retrouves des exercices corrigés en vidéo, expliqués pas à pas par des professeurs. Chaque correction détaille le raisonnement, montre les pièges à éviter et te donne les bons réflexes pour développer et factoriser sans erreur.
Ces vidéos sont classées par difficulté, du plus simple au plus avancé, pour progresser à ton rythme et gagner en autonomie avant un contrôle.
Voici l'essentiel à retenir en un coup d'œil.
Réflexe factorisation : facteur commun d'abord, puis identité remarquable, puis groupement. Réflexe vérification : redévelopper pour retrouver le départ.
Développer consiste à transformer un produit en somme : on supprime les parenthèses en distribuant. Par exemple, $a(b+c) = ab + ac$. Factoriser fait exactement l'inverse : on transforme une somme en produit en mettant un facteur commun ou une identité remarquable. Par exemple, $ab + ac = a(b+c)$. Ce sont donc deux opérations inverses : ce que développer construit, factoriser le défait. Retiens que développer « ouvre » les parenthèses, tandis que factoriser les « referme ».
Cherche des indices visuels. La présence de deux carrés parfaits doit t'alerter. S'il y a en plus un terme double au milieu (comme $2ab$), tu as sûrement $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$ selon le signe. S'il n'y a qu'une soustraction entre deux carrés sans terme central, c'est $a^2 - b^2$. Par exemple, $x^2 + 8x + 16$ contient $x^2$, $4^2$ et $2 \times x \times 4$, donc c'est $(x+4)^2$. Entraîne-toi régulièrement pour « voir » ces formes, même dans des expressions compliquées.
C'est l'erreur la plus fréquente ! En développant correctement, on obtient $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Le terme du milieu, $-2ab$, ne peut pas être ignoré. Vérifions avec des nombres : $(5-2)^2 = 3^2 = 9$, alors que $5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$. Les deux résultats sont bien différents, ce qui prouve que $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$. Attention aussi : $a^2 - b^2$ correspond à une autre identité, la différence de deux carrés, qui se factorise en $(a+b)(a-b)$.
C'est très simple : il suffit de redévelopper l'expression que tu as factorisée. Si tu retrouves exactement l'expression de départ, ta factorisation est juste. Par exemple, si tu écris $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$, développe $(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$. Tu retrouves bien le départ : c'est correct ! Fais cette vérification systématiquement, surtout en contrôle. Elle prend quelques secondes et t'évite de perdre des points sur une erreur de signe ou de facteur.
Ces deux outils servent tout le temps en mathématiques. La factorisation est indispensable pour résoudre des équations (grâce à l'équation-produit), pour simplifier des expressions ou des fractions, et pour étudier le signe d'une expression. Le développement, lui, aide à réduire et à comparer des expressions. On s’en sert pour les fonctions, les dérivées et les limites. Bien maîtriser le développement et la factorisation donne donc des bases solides pour tout ton parcours en mathématiques.