Déterminant de deux vecteurs

Le déterminant de deux vecteurs est un outil très pratique. Il te permet de répondre à une question simple mais essentielle : deux vecteurs pointent-ils dans la même direction ? En d'autres termes, sont-ils colinéaires ? Grâce à un seul petit calcul, tu peux vérifier si deux vecteurs ont la même direction, si trois points sont sur une même droite, ou encore calculer une aire.

Ce concept appartient à la géométrie plane (dans un plan à deux dimensions). Il est très utilisé car il rend les démonstrations plus rapides et plus faciles. Dans ce cours, on t'explique tout, étape par étape, avec des exemples concrets et des exercices corrigés en vidéo.

01 - Qu'est-ce que le déterminant de deux vecteurs ?

Le déterminant de deux vecteurs est un nombre que l'on calcule à partir des coordonnées de ces deux vecteurs.

Prenons deux vecteurs dans le plan :

• $\vec{u}(x\,;\,y)$
• $\vec{v}(x'\,;\,y')$

Le déterminant de ces deux vecteurs, noté $\det(\vec{u},\vec{v})$, se calcule ainsi :

$$
\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y
$$

On l'écrit aussi sous la forme d'un tableau de nombres (appelé « tableau du déterminant ») :

$$
\det(\vec{u},\vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y
$$

L'idée intuitive : tu ranges les coordonnées des deux vecteurs en colonnes. Ensuite, tu multiplies en croix. Tu fais le produit de la « diagonale descendante » ($x \times y'$), puis tu retires le produit de la « diagonale montante » ($x' \times y$). Le résultat est le déterminant.

02 - Comment calculer le déterminant de deux vecteurs ?

Pour calculer un déterminant, suis toujours ces trois étapes :

1. Repère les coordonnées de chaque vecteur : $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$.
2. Applique la formule $xy' - x'y$.
3. Calcule et donne le résultat.

Exemple 1 — un déterminant positif

Soit $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(2\,;\,4)$.

$$
\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10
$$

Le résultat est positif : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exemple 2 — un déterminant négatif

Soit $\vec{u}(5\,;\,2)$ et $\vec{v}(1\,;\,-3)$.

$$
\det(\vec{u},\vec{v}) = 5 \times (-3) - 1 \times 2 = -15 - 2 = -17
$$

Le résultat est négatif : les vecteurs ne sont pas colinéaires non plus (le signe indique l'orientation, on le verra plus loin).

Exemple 3 — un déterminant nul

Soit $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,6)$.

$$
\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0
$$

Le résultat est nul : les vecteurs sont colinéaires.

Astuce : fais toujours attention aux signes « moins ». Une erreur de signe est la faute la plus fréquente. Écris chaque produit clairement avant de faire la soustraction.

03 - Déterminant et colinéarité de vecteurs

Voici le théorème le plus important de ce chapitre :

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

$$
\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff \det(\vec{u},\vec{v}) = 0
$$

Petite démonstration (idée simple) : dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, c'est dire qu'il existe un nombre $k$ non nul tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Donc $x' = kx$ et $y' = ky$. On calcule alors :

$$
\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y = x(ky) - (kx)y = kxy - kxy = 0
$$

Le déterminant est bien nul. Et réciproquement, s'il est nul, les vecteurs sont colinéaires car alors $\frac{x'}{x}=\frac{y'}{y}=k$.

Application : l'alignement de points. Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Il suffit donc de calculer $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ :

• si le résultat est 0, les points sont alignés ;
• sinon, ils forment un triangle.

Le cas de gauche représente des vecteurs colinéaires, celui de droite des vecteurs qui ne le sont pas.

04 - Propriétés du déterminant de deux vecteurs

Le déterminant possède plusieurs propriétés très utiles pour aller plus vite dans les calculs.

1. Antisymétrie. Si tu échanges les deux vecteurs, le déterminant change de signe :

$$
\det(\vec{v},\vec{u}) = -\det(\vec{u},\vec{v})
$$

2. Un vecteur avec lui-même donne 0. Comme un vecteur est toujours colinéaire à lui-même :

$$
\det(\vec{u},\vec{u}) = 0
$$

3. Multiplication par un scalaire. Si tu multiplies l'un des vecteurs par un nombre $k$, le déterminant est multiplié par $k$ :

$$
\det(k\vec{u},\vec{v}) = k \times \det(\vec{u},\vec{v})
$$

4. Bilinéarité (linéarité par rapport à chaque vecteur). On peut « distribuer » une somme de vecteurs :

$$
\det(\vec{u} + \vec{w},\vec{v}) = \det(\vec{u},\vec{v}) + \det(\vec{w},\vec{v})
$$

Ces quatre propriétés se démontrent très simplement à l’aide de la formule du déterminant.

Exemple d'illustration : avec $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,1)$, on a $\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 1 - 3 \times 2 = -5$. En échangeant : $\det(\vec{v},\vec{u}) = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 5 = -(-5)$. L'antisymétrie est vérifiée.

05 - Interprétation géométrique et orientation

Le déterminant a une signification géométrique très parlante.

La valeur absolue du déterminant est égale à l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$$
\text{Aire du parallélogramme} = |\det(\vec{u},\vec{v})|
$$

C'est pour cela que, lorsque le déterminant vaut 0, l'aire est nulle : les deux vecteurs sont « aplatis » sur une même droite, donc colinéaires.

Le signe du déterminant indique l'orientation :

• si $\det(\vec{u},\vec{v}) > 0$, le vecteur $\vec{v}$ se trouve « à gauche » de $\vec{u}$ : on tourne dans le sens trigonométrique (sens direct, anti-horaire) ;
• si $\det(\vec{u},\vec{v}) < 0$, on tourne dans le sens horaire (sens indirect).

Ainsi, un seul calcul te donne à la fois une aire et une information de direction. C'est ce qui rend le déterminant si puissant en géométrie.

Démonstration:

Soient deux vecteurs $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$. On note $\alpha$ l’angle que forme  $\vec{u}$ avec l’axe des abscisses et $\beta$ l’angle que forme  $\vec{v}$ avec l’axe des abscisses. On note $\theta=\beta-\alpha$ l’angle que forment les vecteurs $\vec{u}$ et   $\vec{v}$. En remarquant que $x=\|\vec{u}\|\cos\alpha$, $y=\|\vec{u}\|\sin\alpha$, $x'=\|\vec{v}\|\cos\beta$ et $y'=\|\vec{v}\|\sin\beta$, $\sin(\beta-\alpha)

\sin\beta\cos\alpha

\cos\beta\sin\alpha$, et que l’aire $\mathcal{A}$ du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ se calcule par base fois hauteur ($BH\times OA=BH \times \|\vec{u}\|$),  il vient:

$$
\begin{aligned}
\det(\vec{u},\vec{v})
&=xy'-yx'\\
&=\|\vec{u}\|\cos\alpha\,
\|\vec{v}\|\sin\beta
-\|\vec{u}\|\sin\alpha\,
\|\vec{v}\|\cos\beta\\
&=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|
\left(
\cos\alpha\sin\beta
-\sin\alpha\cos\beta
\right).\\
&=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|
\sin(\beta-\alpha)\\
&=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|
\sin(\theta)
\end{aligned}
$$

Or dans le triangle rectangle $OBH$, $|\sin\theta|

\frac{BH}{\|\vec{v}\|}$, donc $BH

\|\vec{v}\|\,|\sin\theta|$. Ainsi,

$$
|\det(\vec{u},\vec{v})|=\|\vec{u}\| \times BH=\mathcal{A}
$$

06 - Nos exercices corrigés sur le déterminant de deux vecteurs

Chez Corrigeo, on ne se contente pas de te donner la réponse : on t'explique le raisonnement complet, étape par étape, dans des vidéos claires et pédagogiques. Tu vois exactement comment poser le calcul, éviter les erreurs de signe et rédiger proprement ta réponse le jour du contrôle.

Nos exercices corrigés en vidéo couvrent tous les cas classiques du chapitre : calcul direct d'un déterminant, test de colinéarité, alignement de trois points, recherche d'une valeur inconnue pour que deux vecteurs soient colinéaires, et calcul d'aire.

07 - Fiche de révision sur le déterminant de deux vecteurs

Voici l'essentiel à retenir avant un contrôle :

Garde en tête que le déterminant sert avant tout à tester la colinéarité (det = 0) et à mesurer une aire. Vérifie toujours tes signes !

08 - FAQ : Questions fréquentes sur le déterminant de deux vecteurs

Que signifie un déterminant nul pour deux vecteurs ?

Un déterminant nul signifie que les deux vecteurs sont colinéaires : ils ont la même direction (ils sont parallèles ou portés par la même droite). Géométriquement, cela veut dire que le parallélogramme qu'ils formeraient a une aire nulle, car les vecteurs sont « aplatis » l'un sur l'autre. Pour vérifier si trois points sont alignés, on calcule le déterminant des vecteurs correspondants. S'il vaut zéro, les points sont bien alignés sur une même droite.

Comment interpréter le signe du déterminant de deux vecteurs ?

Le signe du déterminant indique l'orientation des deux vecteurs l'un par rapport à l'autre. Si $\det(\vec{u},\vec{v})$ est positif, on passe de $\vec{u}$ à $\vec{v}$ dans le sens trigonométrique (sens direct, anti-horaire). S'il est négatif, on tourne dans le sens horaire (sens indirect). La valeur absolue, elle, donne l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Le signe est donc une information de direction, tandis que la valeur absolue est une information de taille (l'aire).

Quelle est la différence entre déterminant et produit scalaire ?

Ce sont deux opérations différentes qui donnent chacune un nombre, mais elles ne mesurent pas la même chose. Le produit scalaire ($xx' + yy'$) sert surtout à étudier l'orthogonalité : il vaut zéro quand les vecteurs sont perpendiculaires. Le déterminant ($xy' - x'y$) sert à étudier la colinéarité : il vaut zéro quand les vecteurs sont parallèles. En résumé, le produit scalaire parle d'angle droit, le déterminant parle d'alignement et d'aire. Ne les confonds pas dans tes calculs !

Peut-on calculer le déterminant de deux vecteurs dans l'espace (3D) ?

Dans l'espace (3D), on ne calcule pas le déterminant de deux vecteurs directement, car il faut trois coordonnées et un tableau 2×2 n'est plus adapté. On utilise alors d'autres outils, comme le produit vectoriel ou le déterminant de trois vecteurs (tableau 3×3), qui donne le volume du parallélépipède.