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Le PGCD signifie Plus Grand Commun Diviseur. C'est tout simplement le plus grand nombre entier qui divise à la fois deux (ou plusieurs) nombres entiers, sans laisser de reste.
Pour bien comprendre, prenons un exemple simple avec 12 et 18.
Les diviseurs qu'ils ont en commun sont : 1, 2, 3 et 6. Le plus grand de ces diviseurs communs est 6. On écrit donc :
$$
\text{PGCD}(12 \, ; 18) = 6
$$
Le PGCD n'est pas juste une notion abstraite : il sert dans beaucoup de situations concrètes en mathématiques.
Maîtriser cette notion te fait donc gagner du temps et évite les erreurs dans de nombreux exercices.
Cette méthode consiste à lister tous les diviseurs de chaque nombre, puis à repérer le plus grand qu'ils ont en commun. Elle est idéale pour les petits nombres.
Exemple avec 20 et 30 :
Les diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10. Le plus grand est 10, donc $\text{PGCD}(20 \, ; 30) = 10$.
Ici, on décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis on garde les facteurs communs (avec la plus petite puissance).
Exemple avec 60 et 126 :
$$
\text{PGCD}(60 \, ; 126) = 2 \times 3 = 6
$$
Cette méthode est très rapide pour les grands nombres. Elle repose sur les divisions successives : on divise le grand nombre par le petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à obtenir un reste égal à 0. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple avec PGCD(252 ; 105) :
Le dernier reste non nul est 21, donc $\text{PGCD}(252 \, ; 105) = 21$.
Le PGCD ne se limite pas à deux nombres : on peut aussi le chercher pour trois entiers ou plus. La méthode la plus simple est la décomposition en facteurs premiers, où l'on garde uniquement les facteurs communs à tous les nombres.
Exemple avec 36, 60 et 48 :
Les facteurs communs aux trois nombres sont 2 × 2 × 3, donc :
$$
\text{PGCD}(36 \, ; 60 \, ; 48) = 2 \times 2 \times 3 = 12
$$
On utilise ici l'algorithme d'Euclide :
Le dernier reste non nul est 12, donc $\text{PGCD}(84 \, ; 36) = 12$.
Vérification par les facteurs premiers : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $36 = 2^2 \times 3^2$. Les facteurs communs donnent $2^2 \times 3 = 12$. Résultat confirmé.
On utilise la méthode des facteurs premiers :
Les facteurs communs aux trois nombres sont 2 × 3 × 5, donc :
$$
\text{PGCD}(120 \, ; 90 \, ; 30) = 2 \times 3 \times 5 = 30
$$
On remarque que 30 divise bien 120, 90 et 30, ce qui confirme le résultat.
Le PGCD est l'outil idéal pour rendre une fraction irréductible (la plus simple possible). Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Prenons la fraction $\dfrac{84}{36}$. On a vu que $\text{PGCD}(84 \, ; 36) = 12$. On divise donc en haut et en bas par 12 :
$$
\frac{84}{36} = \frac{84 \div 12}{36 \div 12} = \frac{7}{3}
$$
Avant : $\dfrac{84}{36}$ — Après : $\dfrac{7}{3}$. La fraction est maintenant irréductible, car 7 et 3 n'ont plus de diviseur commun autre que 1.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de te donner la réponse : on t'explique chaque étape en vidéo, avec une pédagogie pensée pour les élèves. Tu peux mettre en pause, revoir un passage et comprendre à ton rythme les méthodes des diviseurs, des facteurs premiers et de l'algorithme d'Euclide.
Voici une synthèse à garder sous les yeux pour réviser efficacement.
Le PGCD est le plus grand nombre qui divise deux entiers, tandis que le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple des deux entiers. Autrement dit, le PGCD « descend » vers les diviseurs communs, alors que le PPCM « monte » vers les multiples communs. Par exemple, pour 12 et 18 : le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36. Une propriété utile relie les deux : pour deux nombres a et b, on a PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b.
Pour vérifier, assure-toi d'abord que le résultat divise bien chacun des nombres de départ sans laisser de reste. Ensuite, contrôle qu'aucun nombre plus grand ne les divise tous les deux : si tu divises chaque nombre par le PGCD, les quotients obtenus doivent être premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1). Par exemple pour PGCD(84 ; 36) = 12 : on a 84 ÷ 12 = 7 et 36 ÷ 12 = 3, et 7 et 3 n'ont aucun diviseur commun. Le résultat est donc correct.
Oui, l'algorithme d'Euclide est de loin la méthode la plus rapide pour les grands nombres. Au lieu de lister tous les diviseurs (très long) ou de décomposer en facteurs premiers (parfois difficile), tu enchaînes de simples divisions successives. Tu divises le grand nombre par le petit, tu gardes le reste, puis tu recommences jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. En quelques divisions seulement, tu obtiens le résultat, même pour des nombres de plusieurs chiffres.
On utilise le PGCD pour simplifier une fraction et la rendre irréductible, c'est-à-dire la plus simple possible. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, on obtient une fraction équivalente mais avec des nombres plus petits, plus faciles à lire et à manipuler. Par exemple, $\frac{84}{36}$ se simplifie en $\frac{7}{3}$ en divisant par 12. Une fraction simplifiée facilite les comparaisons, les additions et évite les erreurs de calcul dans les exercices.
Le PGCD est utile dans de nombreuses situations concrètes de partage et de répartition. Par exemple, si tu as 60 bonbons rouges et 48 bonbons bleus et que tu veux préparer le plus grand nombre de sachets identiques sans reste, tu calcules PGCD(60 ; 48) = 12 : tu peux donc faire 12 sachets. On l'utilise aussi pour découper des matériaux en morceaux égaux les plus grands possibles, ou pour organiser des groupes équilibrés. C'est une notion pratique qui dépasse largement le cadre scolaire.