Clique sur un chapitre pour accéder aux vidéos et exercices corrigés
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers avec $b \neq 0$. Autrement dit, aucune fraction de deux entiers ne permet de représenter exactement ce nombre.
Cette impossibilité a une conséquence directe : le développement décimal d'un nombre irrationnel est infini et non périodique. Cela veut dire qu'après la virgule, les chiffres continuent à l'infini sans jamais former un motif qui se répète.
Voici trois exemples que tu croiseras souvent :
Pour bien comprendre, il faut faire le lien avec les nombres rationnels. Un nombre rationnel est justement un nombre qui peut s'écrire sous forme de fraction, comme $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ ou encore $0{,}333...$ (qui vaut $\frac{1}{3}$). L'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ se sépare donc en deux familles : les rationnels (notés $\mathbb{Q}$) et les irrationnels (notés $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$). Un nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel : il ne peut pas être les deux.
Le développement décimal d'un nombre, c'est la suite de ses chiffres après la virgule. Pour un nombre irrationnel, cette suite est infinie (elle ne s'arrête jamais) et non périodique (aucun groupe de chiffres ne se répète indéfiniment).
Prends $\sqrt{2} = 1{,}41421356...$ : les chiffres se succèdent sans logique répétitive. C'est pareil pour $\pi = 3{,}14159265...$
Attention à une confusion fréquente : ce n'est pas parce qu'un nombre a une infinité de chiffres après la virgule qu'il est irrationnel. Le nombre $\frac{1}{3} = 0{,}3333...$ possède une infinité de chiffres, mais ce chiffre 3 se répète : le développement est donc périodique, ce qui prouve que $\frac{1}{3}$ est bien rationnel.
Pour bien distinguer les deux familles, comparons-les point par point.
Tu remarques que les deux familles se trouvent sur la même droite numérique : les irrationnels comblent les « trous » laissés par les rationnels.
Voici quelques méthodes simples pour identifier un nombre irrationnel :
Petit exercice d'identification : parmi $\frac{7}{2}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$ et $0{,}25$, lequel est irrationnel ?
Correction : $\frac{7}{2} = 3{,}5$ (rationnel car s’écrit sous forme a/b et a un nombre limité de décimales), $\sqrt{16} = 4$ (rationnel car 16 est un carré parfait), $0{,}25 = \frac{1}{4}$ (rationnel car s’écrit sous forme a/b et a un nombre limité de décimales). Seul $\sqrt{7}$ est irrationnel, car 7 n'est pas un carré parfait
Certains nombres irrationnels sont incontournables en mathématiques. En voici les plus importants :
Chacun de ces nombres est irrationnel car aucune fraction d'entiers ne peut le représenter exactement, et leur développement décimal est infini non périodique.
L'histoire raconte que $\sqrt{2}$ fut découvert par les Pythagoriciens, au Ve siècle avant J.-C. La légende attribue cette découverte à Hippase de Métaponte. Elle bouscula leur vision du monde, car ils pensaient que tout pouvait s'exprimer par des rapports de nombres entiers.
Pourquoi $\sqrt{2}$ apparaît-il naturellement ? Prenons un carré de côté 1. D'après le théorème de Pythagore, la longueur de sa diagonale $d$ vérifie :
$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2
$$
Donc $d = \sqrt{2}$. Cette diagonale mesure exactement $\sqrt{2}$, un nombre que l'on ne peut écrire avec aucune fraction. Son approximation décimale $1{,}41421356...$ montre bien un développement infini non périodique.
Le nombre $\pi$ est défini comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre :
$$
\pi = \frac{\text{circonférence}}{\text{diamètre}}
$$
Ce rapport est le même pour tous les cercles, quelle que soit leur taille. Son approximation est $\pi \approx 3{,}14159265...$, avec un développement décimal infini et non périodique, ce qui prouve son irrationalité.
Tu utilises par exemple $\pi$ dans les formules de géométrie : la circonférence d'un cercle de rayon $r$ vaut $2\pi r$, et son aire vaut $\pi r^2$.
Pour prouver qu'un nombre est irrationnel, on utilise le plus souvent le raisonnement par l'absurde. Le principe est le suivant :
Cette méthode est très puissante car elle transforme un problème difficile (prouver une impossibilité) en une recherche de contradiction.
Démontrons que $\sqrt{2}$ est irrationnel, étape par étape.
Étape 1 — Hypothèse. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors on peut l'écrire $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ des entiers premiers entre eux (la fraction est irréductible, on ne peut plus la simplifier).
Étape 2 — On élève au carré.
$$
2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Longrightarrow \quad p^2 = 2q^2
$$
Étape 3 — p est pair. Comme $p^2 = 2q^2$, le nombre $p^2$ est pair. Or, si le carré d'un entier est pair, alors cet entier est lui-même pair. Donc $p$ est pair, et on peut écrire $p = 2k$.
Étape 4 — q est pair aussi. En remplaçant : $p^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Comme $p^2 = 2q^2$, on obtient $4k^2 = 2q^2$, donc $q^2 = 2k^2$. Ainsi $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
Étape 5 — Contradiction. On a montré que $p$ et $q$ sont tous les deux pairs. Mais on avait supposé qu'ils étaient premiers entre eux (donc sans diviseur commun) ! C'est impossible.
Conclusion. L'hypothèse « $\sqrt{2}$ est rationnel » mène à une contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Les nombres irrationnels obéissent à des règles qu'il faut connaître, surtout pour les opérations.
Une règle certaine : la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle. De même, le produit d'un rationnel non nul par un irrationnel est irrationnel.
En revanche, la somme ou le produit de deux irrationnels n'est pas toujours irrationnel. Voici quelques cas :
Enfin, une propriété plus avancée : les nombres irrationnels sont denses dans les réels. Cela signifie qu'entre deux nombres, aussi proches soient-ils, on peut toujours trouver un nombre irrationnel.
Retenons les deux règles sûres :
Pour la somme de deux irrationnels, tout dépend des nombres :
Exercice d'application : le nombre $7 - \sqrt{2}$ est-il rationnel ou irrationnel ?
Correction : c'est la somme d'un rationnel (7) et d'un irrationnel ($-\sqrt{2}$), donc le résultat est irrationnel.
Rien ne remplace la pratique ! Chez Corrigeo, chaque exercice sur les nombres irrationnels est accompagné d'une correction en vidéo, expliquée pas à pas par nos professeurs. Tu peux ainsi voir le raisonnement se construire, comprendre chaque étape et repérer les pièges classiques.
Ces vidéos sont idéales pour t'entraîner sur les démonstrations par l'absurde, les identifications de nombres irrationnels et les opérations. Tu progresses à ton rythme, en revenant sur les points difficiles autant de fois que nécessaire.
Voici l'essentiel à retenir pour réviser efficacement.
À mémoriser : un développement décimal infini ne suffit pas pour être irrationnel ; il faut aussi qu'il soit non périodique.
Plusieurs méthodes existent. D'abord, vérifie si le nombre est la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait : $\sqrt{7}$ est irrationnel, mais $\sqrt{9} = 3$ ne l'est pas. Ensuite, observe son développement décimal : s'il est infini et non périodique, le nombre est irrationnel. Enfin, applique la définition : si le nombre ne peut pas s'écrire sous forme de fraction d'entiers, il est irrationnel. Des nombres comme $\pi$ ou $\sqrt{7}$ répondent à tous ces critères.
On le prouve par un raisonnement par l'absurde. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel : on pourrait l'écrire $\frac{p}{q}$ sous forme irréductible. En élevant au carré, on obtient $p^2 = 2q^2$, ce qui montre que $p$ est pair. En remplaçant, on déduit que $q$ est également pair. Mais alors $p$ et $q$ ont un diviseur commun (2), ce qui contredit le fait que la fraction était irréductible. Cette contradiction prouve que $\sqrt{2}$ ne peut pas être rationnel : il est donc irrationnel.
Oui, on peut toujours additionner deux nombres irrationnels, mais le résultat n'est pas prévisible à l'avance : il peut être rationnel ou irrationnel. Par exemple, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ donne un nombre irrationnel. En revanche, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$, qui est un nombre rationnel. Tout dépend donc des nombres choisis. C'est une différence importante avec la somme d'un rationnel et d'un irrationnel, qui, elle, donne toujours un résultat irrationnel.
Les plus célèbres sont : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ (la diagonale d'un carré de côté 1), $\pi \approx 3{,}1416$ (le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle), $e \approx 2{,}718$ (le nombre de Néper ou d'Euler), et $\varphi \approx 1{,}618$ (le nombre d'or). Il faut aussi ajouter toutes les racines carrées d'entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, comme $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ ou $\sqrt{7}$. Ces nombres reviennent très souvent en géométrie et en analyse.
Ils permettent de mesurer exactement des longueurs, des aires et des volumes qui ne tombent pas sur des valeurs simples. Par exemple, la diagonale d'un carré de côté 1 vaut exactement $\sqrt{2}$. L'aire d'un cercle de rayon $r$ vaut $\pi r^2$, une formule impossible sans le nombre irrationnel $\pi$. De même, le côté et les proportions d'un pentagone régulier font intervenir le nombre d'or $\varphi$. Sans les irrationnels, on ne pourrait décrire précisément de nombreuses figures géométriques.