Clique sur un chapitre pour accéder aux vidéos et exercices corrigés
Les nombres sont partout : sur ton téléphone, dans tes notes, quand tu comptes ta monnaie ou que tu regardes l'heure. Mais savais-tu qu'il existe plusieurs familles de nombres, chacune avec ses propres règles ? Comprendre leur nature t'aide à mieux raisonner en maths, en sciences et même dans la vie de tous les jours. Partons à la découverte de ces grandes familles.
Un nombre est un objet mathématique qui sert à compter, mesurer, comparer et calculer. Grâce aux nombres, tu peux dire combien d'objets se trouvent dans un sac, mesurer une distance en kilomètres ou exprimer une note sur 20. Ils sont l'outil de base pour décrire les quantités du monde qui t'entoure. Sans eux, impossible de faire des mathématiques, de la physique ou même de la cuisine avec précision.
Les premiers nombres ont servi à compter : les civilisations anciennes comme l'Égypte, Babylone, la Grèce ou l'Inde utilisaient des symboles pour dénombrer les récoltes ou les animaux. Le zéro est apparu plus tard, notamment en Inde, tout comme les nombres négatifs utiles pour représenter les dettes. Enfin, les chiffres arabes et l'écriture décimale que tu utilises aujourd'hui ont simplifié les calculs. Cette évolution répond à un besoin humain universel : quantifier et représenter le monde.
Les entiers sont les nombres sans partie décimale. On distingue les entiers positifs (1, 2, 3…), le zéro (0) et les entiers négatifs (−1, −2, −3…). Par exemple, une température de −5 °C ou un solde bancaire de +20 € utilisent ces nombres. On les représente facilement sur une droite graduée. Les entiers positifs sont appelés les entiers naturels, les entiers positifs et négatifs sont appelés les entiers relatifs.
Les nombres décimaux ont une partie après la virgule et représentent des fractions en base 10. Par exemple : 0,5 ; 1,75 ; 2,03. Ils permettent de mesurer des grandeurs avec précision, comme une taille de 1,72 m ou un prix de 3,99 €. Chaque chiffre après la virgule représente des dixièmes, des centièmes, des millièmes, etc.
Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers, comme $\frac{1}{2}$ ou $\frac{3}{4}$. Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire ainsi : c'est le cas de $\sqrt{2}$ ou de $\pi$. Leurs chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas de façon régulière.
La grande différence se voit dans leur écriture décimale : les rationnels ont un développement fini (0,25) ou périodique (0,333…), tandis que les irrationnels ont un développement infini et non périodique.
Les mathématiciens rangent les nombres dans des ensembles notés par des lettres spéciales : $\mathbb{N}$ (entiers naturels), $\mathbb{Z}$ (entiers relatifs), $\mathbb{Q}$ (rationnels), $\mathbb{R}$ (réels) et $\mathbb{C}$ (complexes). Le symbole $\in$ signifie « appartient à ». Par exemple : $3 \in \mathbb{N}$ (3 est un entier naturel), et $-2 \in \mathbb{Z}$ mais $-2 \notin \mathbb{N}$ (−2 est un entier relatif mais pas un entier naturel).
Les ensembles possèdent des propriétés importantes : la fermeture (la somme ou le produit de deux entiers reste un entier), l'ordre (on peut toujours comparer deux nombres) et la densité (entre deux rationnels, il existe toujours un autre rationnel).
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13. Pour savoir si un nombre est divisible par un autre, on utilise des critères de divisibilité faciles à retenir.
Décomposer un nombre, c'est l'écrire comme un produit de nombres premiers. Par exemple :
$$
60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5
$$
On divise par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence. Cette décomposition sert à calculer le PGCD, à simplifier des fractions et même en cryptographie pour sécuriser les données.
Un même nombre peut s'écrire de plusieurs façons : en écriture décimale (0,5), en écriture fractionnaire ($\frac{1}{2}$) ou en écriture scientifique ($3 \times 10^{4}$ pour 30 000). Dans la vie quotidienne, tu additionnes des décimaux pour calculer un total de courses, ou tu utilises des fractions pour partager une pizza.
La valeur exacte est la valeur précise d'un nombre, par exemple $\sqrt{2}$. La valeur approchée en donne une estimation ($\sqrt{2} \approx 1{,}41421$), et la valeur arrondie la simplifie selon la précision voulue (arrondi à 1,4).
Chez Corrigeo, on ne se contente pas d'expliquer la théorie : on t'accompagne pas à pas avec des exercices corrigés en vidéo. Tu vois la méthode se construire à l'écran, tu comprends chaque étape et tu progresses à ton rythme. C'est idéal pour t'entraîner sur les ensembles de nombres, la décomposition en facteurs premiers ou les valeurs approchées.
Voici l'essentiel à retenir en un coup d'œil :
Un nombre entier n'a pas de partie après la virgule : par exemple 3, 0 ou −7. Un nombre décimal possède une partie décimale finie, comme 2,5 ou 0,75. Autrement dit, tous les entiers sont des décimaux (leur partie décimale est nulle), mais tous les décimaux ne sont pas des entiers. La virgule est donc le signe distinctif : dès qu'un nombre a des chiffres significatifs après elle, ce n'est plus un entier.
Le mot « irrationnel » vient du fait qu'ils ne peuvent pas s'écrire comme un ratio, c'est-à-dire une fraction de deux entiers. Contrairement aux rationnels, leur développement décimal est infini et ne se répète jamais de façon régulière. Par exemple, $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels : leurs chiffres après la virgule se poursuivent sans fin ni motif. Le terme n'a rien à voir avec « déraisonnable » : il signifie simplement « qui n'est pas un rapport de nombres entiers ».
Les ensembles de nombres permettent de classer les nombres selon leurs propriétés et de savoir quelles opérations sont possibles. Par exemple, une soustraction peut sortir de ℕ (5 − 8 = −3), mais reste dans ℤ. Connaître l'ensemble d'un nombre aide à résoudre des équations, à vérifier des résultats et à raisonner avec rigueur. C'est aussi un langage commun : quand on écrit $x \in \mathbb{R}$, tout le monde comprend immédiatement de quel type de nombre on parle.