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Les identités remarquables sont des formules très utiles en mathématiques. Elles permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions, sans faire tous les calculs à la main. Une fois apprises, elles te font gagner beaucoup de temps. Dans ce cours, tu vas découvrir les formules essentielles, leurs démonstrations simples et des exercices corrigés pour bien t'entraîner.
Il existe trois identités remarquables du second degré à connaître par cœur. Elles reviennent tout le temps dans les exercices, alors autant bien les maîtriser dès maintenant.
La première formule est celle du carré d’une somme :
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
En langage simple : quand tu élèves une somme au carré, tu ne peux pas simplement écrire $a^2 + b^2$. Il faut ajouter un « terme du milieu », le fameux $2ab$. C'est l'erreur la plus fréquente des élèves !
Exemple numérique avec $a = 5$ et $b = 3$ :
$$
(5 + 3)^2 = 5^2 + 2 \times 5 \times 3 + 3^2 = 25 + 30 + 9 = 64
$$
On vérifie : $(5 + 3)^2 = 8^2 = 64$. Ça marche.
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Ce carré de côté a+b, d’aire (a+b)², se décompose en un carré de côté a (d’aire a²), un carré de côté b (d’aire b²) et deux rectangles de dimension (a,b) (d’aire ab chacun). L’aire du carré de côté a+b, (a+b)², vaut donc la somme des aires qui la composent, a²+2ab+b².
La deuxième formule concerne le carré d’une différence :
$$
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
La seule différence avec la formule précédente, c'est le signe du terme du milieu : ici, on soustrait $2ab$ au lieu de l'ajouter. Les termes $a^2$ et $b^2$ restent toujours positifs.
Exemple pas à pas avec $a = 7$ et $b = 2$ :
$$
(7 - 2)^2 = 7^2 - 2 \times 7 \times 2 + 2^2 = 49 - 28 + 4 = 25
$$
On vérifie : $(7 - 2)^2 = 5^2 = 25$. C'est correct.
L’aire totale de ce carré de côté a vaut a². Elle se décompose en l’aire d’un carré de côté b, l’aire d’un carré de côté a-b et l’aire de deux rectangles de dimension (b,a-b). Donc a²=(a-b)²+b²+2b(a-b), soit (a-b)²=a²-2ab+b².
La troisième formule est souvent la préférée des élèves car elle est très simple :
$$
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
$$
Quand tu multiplies une somme par la même différence, les termes du milieu s'annulent. Il ne reste que $a^2 - b^2$.
Exemple chiffré avec $a = 6$ et $b = 4$ :
$$
(6 + 4)(6 - 4) = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20
$$
On vérifie : $10 \times 2 = 20$. Parfait. Cette formule sert surtout à factoriser une différence de deux carrés.
L’aire du carré de côté a (rectangle bleu + un rectangle vert + carré rouge) moins l’aire du carré de côté b (carré rouge) est égale à l’aire du rectangle de dimension (a+b,a-b) (rectangle bleu + un rectangle vert). Ainsi, (a+b)(a-b)=a²-b².
Comprendre d'où viennent ces formules t'aide à mieux les retenir. Voyons deux façons de les démontrer.
La démonstration algébrique utilise la distributivité (chaque terme multiplie chaque terme).
Pour le carré d’une somme :
$$
(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
Pour le carré d’une différence :
$$
(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
Pour le produit somme par différence :
$$
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2
$$
Les termes $-ab$ et $+ab$ s'annulent, il ne reste bien que $a^2 - b^2$.
On peut aussi voir ces formules avec des aires. Prends un grand carré de côté $(a + b)$. Son aire vaut $(a + b)^2$.
Si tu découpes ce carré, tu obtiens :
En additionnant tous les morceaux : $a^2 + 2ab + b^2$. On retrouve exactement la formule ! L'analogie est simple : la surface totale reste la même, qu'on la calcule d'un bloc ou morceau par morceau.
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Les identités remarquables lues « à l'envers » sont parfaites pour ça. Il faut apprendre à reconnaître une expression développée qui correspond à une formule.
Exemple 1 — Différence de carrés. L'expression $x^2 - 9$ ressemble à $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = 3$. Donc :
$$
x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
$$
Exemple 2 — Carré d'une somme. L'expression $x^2 + 6x + 9$ a la forme $a^2 + 2ab + b^2$. Ici $a = x$, $b = 3$ car $2ab = 6x$ et $b^2 = 9$. Donc :
$$
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
$$
Exemple 3 — Carré d'une différence. L'expression $4x^2 - 12x + 9$ correspond à $a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 2x$ et $b = 3$. Donc :
$$
4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2
$$
Le réflexe : repère un carré parfait au début et à la fin, puis vérifie le terme du milieu.
Les identités remarquables ne s'arrêtent pas au carré. On peut aussi les utiliser avec des puissances plus élevées.
Pour le cube d'une somme et d'une différence, les formules sont :
$$
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
$$
$$
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
$$
Tu remarques que les coefficients sont 1, 3, 3, 1. Dans la version « différence », les signes alternent : +, −, +, −. Exemple avec $a = x$ et $b = 1$ :
$$
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
$$
Pour aller plus loin, la formule du binôme de Newton généralise ces identités à n'importe quel exposant $n$ :
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
Les coefficients $\binom{n}{k}$ sont les coefficients binomiaux, que l'on retrouve dans le triangle de Pascal. Par exemple, pour $n = 3$, les coefficients sont 1, 3, 3, 1, ce qui redonne bien la formule du cube vue plus haut.
Ces formules ne servent pas qu'à faire des exercices : elles simplifient beaucoup de calculs réels.
Les identités remarquables aident à résoudre des équations. Prenons l'équation $x^2 - 25 = 0$. Au lieu de tâtonner, on factorise avec la différence de carrés :
$$
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) = 0
$$
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul. Donc $x = 5$ ou $x = -5$. La factorisation transforme une équation compliquée en un calcul simple.
Avec les polynômes, les identités remarquables permettent de développer ou factoriser rapidement. Par exemple, pour développer $(2x + 5)^2$, pas besoin de tout multiplier terme par terme :
$$
(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25
$$
À l'inverse, un polynôme comme $9x^2 - 16$ se factorise directement en $(3x - 4)(3x + 4)$.
En géométrie, ces formules simplifient le calcul des aires. Imagine un carré dont le côté mesure $(x + 4)$ cm. Son aire est :
$$
(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
$$
Cette écriture développée est parfois plus pratique pour comparer des surfaces ou résoudre un problème. À l'inverse, une aire donnée sous forme $x^2 + 8x + 16$ te dit tout de suite que le côté vaut $(x + 4)$.
Chez Corrigeo, nous savons qu'on progresse surtout en s'entraînant. C'est pourquoi nous te proposons des exercices corrigés en vidéo, expliqués pas à pas par des professeurs. Tu ne te contentes pas de lire une solution : tu comprends chaque étape du raisonnement, comme si un prof était à côté de toi. Développement, factorisation, résolution d'équations… tu trouveras des exercices adaptés à ton niveau, pour maîtriser les identités remarquables en toute confiance.
Voici une synthèse claire pour réviser rapidement avant un contrôle. Garde ce tableau sous les yeux !
À retenir : le terme du milieu 2ab (ou -2ab) est la clé pour ne pas confondre les deux premiers carrés. Pour la différence de carrés, il n'y a jamais de terme du milieu.
On les appelle « identités » parce que ce sont des égalités toujours vraies, quelles que soient les valeurs de $a$ et $b$. Le mot « remarquables » signifie qu'elles sont assez importantes et qu'on les retrouve tellement souvent qu'il vaut mieux les connaître par cœur. Ce sont en quelque sorte des raccourcis mathématiques : au lieu de refaire tous les calculs de distributivité à chaque fois, on applique directement la formule. Elles méritent donc bien leur nom.
Elles servent principalement à deux choses : développer une expression rapidement et factoriser une expression pour la simplifier. Grâce à elles, tu résous plus facilement des équations, tu calcules des aires en géométrie et tu manipules des polynômes sans erreur. Elles font gagner beaucoup de temps dans les contrôles et évitent des calculs longs et sources d'erreurs. Du collège jusqu'au lycée, elles reviennent constamment, ce qui en fait un outil incontournable à maîtriser tôt.
Un développement classique consiste à multiplier chaque terme un par un avec la distributivité, sans forme particulière. Une identité remarquable, elle, suit toujours un schéma reconnaissable : deux carrés parfaits et éventuellement un terme du milieu $2ab$. Si tu repères la forme $(a + b)^2$, $(a - b)^2$ ou $(a + b)(a - b)$, tu peux appliquer directement la formule. Le développement classique reste possible dans tous les cas, mais l'identité remarquable est un raccourci plus rapide quand la forme correspond.
Le réflexe est de repérer des carrés parfaits au début et à la fin de l'expression, comme $x^2$, $4$, $9$ ou $25$. Ensuite, vérifie le terme du milieu : s'il vaut exactement $2ab$, c'est un carré de somme ou de différence. Si l'expression est une soustraction de deux carrés sans terme du milieu, comme $x^2 - 16$, pense à la différence de carrés. Avec un peu d'entraînement, tu reconnaîtras ces formes en quelques secondes seulement.
Oui ! Visuellement, la représentation géométrique avec des carrés et des rectangles aide beaucoup à comprendre d'où vient le terme $2ab$. Tu peux aussi te répéter à voix haute une petite phrase rythmée comme « carré du premier, double produit, carré du second ». Écrire les formules plusieurs fois et t'entraîner avec des exercices corrigés renforce la mémoire. Chez Corrigeo, les vidéos t'apportent en plus une mémorisation par l'image et le son, ce qui rend l'apprentissage plus efficace et durable.