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Les entiers relatifs sont partout : quand il fait -5 °C dehors, quand ton compte bancaire est à découvert ou quand tu descends au sous-sol d'un immeuble. En mathématiques, ils te permettent de manipuler des nombres négatifs aussi facilement que des nombres positifs. Ce cours clair, avec exemples et exercices corrigés, va t'aider à bien maîtriser cette notion essentielle.
Un entier relatif est un nombre entier (sans virgule et sans fraction) qui peut être positif, négatif ou nul. Le mot « relatif » veut simplement dire que le nombre est accompagné d'un signe : $+$ ou $-$.
Exemples d'entiers relatifs : $-7$, $-1$, $0$, $3$, $12$.
En revanche, $2{,}5$ et $\dfrac{1}{3}$ ne sont pas des entiers relatifs, car ils ont une partie décimale ou s'écrivent sous forme de fraction non entière.
Il faut distinguer deux ensembles :
Autrement dit, tout entier naturel est aussi un entier relatif, mais $-4$ est un entier relatif qui n'est pas un entier naturel.
Pour placer un entier relatif, on utilise une droite graduée : une ligne sur laquelle on repère le point $0$ (l'origine), puis on gradue régulièrement vers la droite (nombres positifs) et vers la gauche (nombres négatifs).
Par exemple, pour placer $-3$, on part de $0$ et on avance de $3$ graduations vers la gauche. Pour $5$, on avance de $5$ graduations vers la droite.
La valeur absolue d'un nombre correspond à sa distance à zéro, sans tenir compte du signe. On la note avec deux barres verticales.
$$
|-3| = 3 \qquad |5| = 5 \qquad |0| = 0
$$
Deux nombres qui ont la même valeur absolue mais des signes contraires sont opposés : $-3$ et $3$ sont opposés, car ils sont à la même distance de $0$ et leur somme vaut $0$.
Comparer deux entiers relatifs, c'est dire lequel est le plus grand. Une règle simple à retenir : sur la droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand.
Voici les cas à connaître :
Exemples de comparaisons :
Pour ranger une liste dans l'ordre croissant, on classe du plus petit (le plus à gauche) au plus grand (le plus à droite). Par exemple, la liste $3 ; -4 ; 0 ; -1 ; 2$ rangée dans l'ordre croissant donne :
Calculer avec des entiers relatifs demande de bien surveiller les signes. On avance étape par étape, du plus simple au plus complet.
Pour l'addition, deux cas se présentent :
Pour la soustraction, la méthode la plus sûre est de la transformer en addition : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
$$
(+4) - (+9) = (+4) + (-9) = -5
$$
$$
(-3) - (-6) = (-3) + (+6) = +3
$$
Cette technique évite les erreurs de signes : on remplace toujours « $- (\text{nombre})$ » par « $+ (\text{opposé})$ ».
Pour la multiplication et la division, on applique la règle des signes. On calcule d'abord le produit (ou le quotient) des valeurs absolues, puis on détermine le signe du résultat.
Méthode pas-à-pas :
Exemples :
$$
(+4) \times (+3) = +12 \qquad (-4) \times (-3) = +12
$$
$$
(-4) \times (+3) = -12 \qquad (+20) \div (-5) = -4
$$
En mathématiques, l'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$. Cette lettre vient du mot allemand Zahlen, qui signifie « nombres ». On peut l'écrire ainsi :
$$
\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}
$$
Les entiers relatifs s'insèrent dans une grande famille d'ensembles emboîtés. Les entiers naturels $\mathbb{N}$ sont inclus dans les entiers relatifs $\mathbb{Z}$, eux-mêmes inclus dans les nombres décimaux, puis les rationnels $\mathbb{Q}$, et enfin les réels $\mathbb{R}$.
$$
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
$$
Cela signifie que tout entier naturel est un entier relatif, et que tout entier relatif est aussi un nombre rationnel et réel. En revanche, $-4$ appartient à $\mathbb{Z}$ mais pas à $\mathbb{N}$.
Les entiers relatifs ne servent pas qu'en classe : on les rencontre partout dès qu'il faut représenter quelque chose qui peut être « au-dessus » ou « en-dessous » d'une référence.
Grâce aux entiers relatifs, on peut additionner ces situations : partir de $-40$ € et déposer $60$ € donne un solde de $+20$ €.
Chez Corrigeo, on ne se contente pas de te donner la réponse : on t'explique comment y arriver. Nos exercices corrigés sont détaillés en vidéo, avec une pédagogie pensée pour les élèves qui veulent vraiment comprendre.
Tu y retrouveras :
Regarder une correction en vidéo permet de voir le raisonnement se construire, comme si un professeur t'expliquait à côté de toi. C'est le meilleur moyen de transformer une notion floue en réflexe automatique.
Voici l'essentiel à retenir, à relire juste avant un contrôle.
Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul : $0, 1, 2, 3, \dots$ Un entier relatif comprend ces mêmes nombres, mais aussi leurs opposés négatifs : $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$ Autrement dit, tout entier naturel est un entier relatif, mais l'inverse est faux : $-4$ est un entier relatif, ce n'est pas un entier naturel. Les naturels forment l'ensemble $\mathbb{N}$, les relatifs l'ensemble $\mathbb{Z}$, avec $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
On les utilise dès qu'il faut mesurer quelque chose par rapport à un point de référence, avec une valeur possible « en-dessous » de ce repère. Par exemple, la température $-5$ °C, l'altitude $-30$ m sous le niveau de la mer, ou un compte bancaire à $-40$ €. Le zéro sert de repère, le positif indique au-dessus et le négatif en-dessous. Les entiers relatifs permettent aussi de calculer facilement ces situations, comme additionner des gains et des pertes de points dans un jeu.
Pour l'addition, si les deux nombres ont des signes différents, le résultat prend le signe du nombre le plus grand en valeur absolue. Pour la multiplication et la division, applique la règle des signes : deux signes identiques donnent un résultat positif, deux signes différents donnent un résultat négatif. Par exemple, $(-4) \times (-3) = +12$ (signes identiques), tandis que $(-4) \times (+3) = -12$ (signes différents). Vérifie toujours les signes avant de conclure.
L'erreur la plus fréquente est de confondre le « signe moins » d'un nombre négatif avec l'opération de soustraction. Pour l'éviter, transforme toujours une soustraction en addition de l'opposé. Autre piège : croire que $-5$ est plus grand que $-1$ parce que $5 > 1$ ; c'est faux, $-5 < -1$. Attention aussi à ne pas oublier le signe du résultat après une multiplication. Enfin, ne mélange pas la règle des signes de l'addition avec celle de la multiplication.
Commence par bien visualiser la droite graduée : elle rend la comparaison beaucoup plus simple. Ensuite, entraîne-toi régulièrement avec des exercices variés, en commençant par les plus faciles. Verbalise chaque étape de tes calculs pour repérer où tu te trompes. Les corrections en vidéo de Corrigeo t'aident à comprendre le raisonnement complet, pas seulement le résultat. Enfin, fabrique ta propre fiche mémo avec les règles des signes : la relire avant chaque contrôle fixe durablement les automatismes.