Clique sur un chapitre pour accéder aux vidéos et exercices corrigés
Les critères de divisibilité sont de véritables raccourcis en arithmétique. Ils te permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre sans poser la division, juste en observant ses chiffres ou en faisant un petit calcul rapide. Très utiles pour simplifier des fractions, factoriser un nombre ou vérifier un calcul mental, ils reposent sur une logique mathématique simple à comprendre. Dans cet article, tu découvriras tous les critères classiques (par 2, 3, 5, 7, 9, 11…), leurs justifications et des méthodes concrètes pour les appliquer.
Un critère de divisibilité est une règle qui permet de déterminer si un nombre entier est divisible par un autre, sans avoir à effectuer la division complète. On dit qu'un nombre $a$ est divisible par $b$ lorsque la division de $a$ par $b$ tombe juste, c'est-à-dire donne un reste égal à 0.
Par exemple, $156 \div 3 = 52$ reste $0$ : donc $156$ est bien divisible par $3$. Mais grâce au critère, on peut le savoir sans poser l'opération : il suffit d'additionner les chiffres ($1+5+6 = 12$), et comme $12$ est divisible par $3$, alors $156$ l'est aussi.
Le fondement mathématique de ces critères repose sur les congruences (l'arithmétique dite « modulaire »). Concrètement, on étudie les restes des puissances de 10 dans la division par le nombre choisi. C'est ce qui explique pourquoi certains critères fonctionnent avec le dernier chiffre, d'autres avec la somme des chiffres.
Certains critères sont si faciles qu'ils ne demandent aucun calcul : il suffit de regarder les derniers chiffres du nombre. Ce sont les premiers à connaître par cœur, car ils reviennent tout le temps.
Ces trois critères ne dépendent que du chiffre des unités :
Pourquoi ça marche ? Dans notre système décimal, tous les chiffres sauf celui des unités sont des dizaines, centaines, etc., donc des multiples de 10 (eux-mêmes multiples de 2 et de 5). Seul le chiffre des unités décide.
Ici, on observe les deux ou trois derniers chiffres :
D'autres critères reposent sur l'addition des chiffres du nombre. Cette méthode est très pratique et se justifie par le fait que les puissances de 10 laissent un reste précis quand on les divise par 3 ou par 9.
Exemple avec $8\,433$ : on additionne $8 + 4 + 3 + 3 = 18$. Comme 18 est divisible par 3 et par 9, le nombre $8\,433$ est divisible par 3 et par 9.
Pourquoi ça marche ? Toute puissance de 10 laisse un reste de 1 dans la division par 9 (et par 3) : $10 = 9+1$, $100 = 99+1$, etc. En arithmétique modulaire, on écrit $10 \equiv 1 \pmod 9$. Du coup, chaque chiffre « compte » simplement pour sa valeur, et le nombre a le même reste que la somme de ses chiffres. C'est aussi le principe de la célèbre preuve par neuf.
Le critère de divisibilité par 11 utilise une somme alternée. On calcule la différence entre la somme des chiffres de rang pair et celle des chiffres de rang impair (en comptant les rangs depuis la droite). Si cette différence est divisible par 11 (y compris 0), le nombre l'est aussi.
Exemple avec $918\,082$ : en partant de la droite, on additionne un chiffre sur deux. Chiffres de rang impair : $2 + 0 + 1 = 3$. Chiffres de rang pair : $8 + 8 + 9 = 25$. Différence : $25 - 3 = 22$, divisible par 11 → donc $918\,082$ est divisible par 11.
L'explication : les puissances de 10 alternent des restes de $1$ et $-1$ modulo 11 ($10 \equiv -1$, $100 \equiv 1$, $1000 \equiv -1$…). C'est cette alternance qui crée la somme alternée.
Pour 7, 13 et d'autres nombres premiers, il n'existe pas de critère aussi simple qu'une somme de chiffres. Mais des méthodes efficaces existent : avec un peu d'entraînement, elles deviennent rapides.
L'idée générale est de remplacer chaque puissance de 10 par son reste dans la division par le nombre étudié. On obtient une « clé » de coefficients à appliquer à chaque chiffre.
Pour 7, les restes des puissances de 10 se répètent en cycle : la clé est $1,\ 3,\ 2,\ -1,\ -3,\ -2$ (en partant du chiffre des unités, puis le cycle recommence).
Exemple avec $2\,513$ : on prend les chiffres de droite à gauche (3, 1, 5, 2) et on multiplie par la clé (1, 3, 2, −1) :
$$
3 \times 1 + 1 \times 3 + 5 \times 2 + 2 \times (-1) = 3 + 3 + 10 - 2 = 14
$$
Comme $14$ est divisible par 7, alors $2\,513$ l'est aussi ($2\,513 = 7 \times 359$).
Cette méthode est itérative : on enlève le chiffre des unités et on l'utilise pour modifier le nombre des dizaines restant, jusqu'à obtenir un petit nombre facile à reconnaître.
Exemple pour 7 avec $826\,413$ :
$$
82\,641 - 2\times 3 = 82\,635 \rightarrow 8\,263 - 2\times 5 = 8\,253 \rightarrow 825 - 2\times 3 = 819 \rightarrow 81 - 2\times 9 = 63
$$
Comme $63 = 7 \times 9$ est divisible par 7, le nombre de départ l'est aussi.
On peut construire un critère pour n'importe quel diviseur $D$. La démarche universelle consiste à décomposer $D$ sous la forme :
$$
D = D' \times 2^q \times 5^p
$$
où $D'$ n'a plus aucun facteur 2 ni 5. On traite ensuite chaque partie séparément grâce au lemme de Gauss : si un nombre est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux, il est divisible par leur produit.
Exemple avec $63 = 9 \times 7$. Comme 9 et 7 sont premiers entre eux, un nombre est divisible par 63 s'il est à la fois divisible par 9 (somme des chiffres) et par 7 (méthode du ruban de Pascal). On combine simplement les deux critères déjà connus.
Enfin, une propriété plus avancée : les nombres irrationnels sont denses dans les réels. Cela signifie qu'entre deux nombres, aussi proches soient-ils, on peut toujours trouver un nombre irrationnel.
Pour les nombres composés courants, il suffit de combiner les critères de leurs facteurs premiers (à condition qu'ils soient premiers entre eux) :
Voici un tableau récapitulatif des critères les plus utiles :
Astuce mnémotechnique : retiens que « unités » sert pour 2, 5 et 10 ; « somme des chiffres » sert pour 3 et 9 ; « somme alternée » sert pour 11. C'est déjà l'essentiel !
Les critères de divisibilité ne servent pas qu'à faire des exercices : ils sont très utiles au quotidien mathématique.
Pour vraiment maîtriser les critères de divisibilité, rien ne vaut la pratique. Sur Corrigeo, tu retrouves des exercices corrigés en vidéo, expliqués pas à pas avec une vraie pédagogie : chaque méthode est détaillée, chaque calcul commenté, pour que tu comprennes non seulement comment faire, mais aussi pourquoi ça marche. Idéal pour progresser à ton rythme et gagner en confiance.
📄 Fiche mémo — Critères de divisibilité
Par observation des derniers chiffres :
Par somme des chiffres :
Nombres plus complexes :
Nombres composés : combiner les critères des facteurs premiers entre eux (6 = 2 et 3 ; 12 = 4 et 3 ; 15 = 3 et 5).
Le plus rapide est la méthode par réduction : tu enlèves le chiffre des unités, puis tu soustrais deux fois ce chiffre au nombre restant. Tu répètes l'opération jusqu'à obtenir un petit nombre reconnaissable. Si le résultat final est divisible par 7 (comme 0, 7, 14, 21…), alors le grand nombre l'est aussi. Par exemple, pour $203$ : $20 - 2\times 3 = 14$, qui est divisible par 7, donc 203 l'est. Avec un peu d'entraînement, c'est très rapide.
Parce que toutes les puissances de 10 laissent un reste de 1 dans la division par 3. En effet, $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$… et 9, 99, 999 sont tous divisibles par 3. Du coup, chaque chiffre du nombre « compte » simplement pour sa propre valeur. Le nombre entier a donc le même reste que la somme de ses chiffres. Si cette somme est divisible par 3, le nombre l'est aussi. C'est le même principe pour le critère par 9.
Oui, on peut construire un critère pour n'importe quel diviseur. La méthode générale consiste à décomposer le nombre en facteurs, puis à combiner les critères de chacun grâce au lemme de Gauss (à condition que les facteurs soient premiers entre eux). Pour les nombres premiers un peu difficiles comme 7 ou 13, on utilise le ruban de Pascal ou la méthode par réduction. Certains critères restent plus longs à appliquer que la division directe, mais théoriquement, aucun nombre n'échappe à cette logique.
Il suffit de décomposer le nombre en facteurs premiers entre eux, puis de vérifier chaque critère séparément. Pour 12 = 4 × 3 : le nombre doit être divisible par 4 (deux derniers chiffres multiples de 4) et par 3 (somme des chiffres divisible par 3). Pour 15 = 3 × 5 : il doit être divisible par 3 et par 5. Attention, il faut que les facteurs choisis soient premiers entre eux : pour 12, on prend 4 et 3, pas 2 et 6.